资源简介

等比数列前n项和教学设计
课题名称 等比数列前n项和
教材分析 等比数列是高中数学重要知识之一，数列是培养学生逻辑思维，抽象思维，归纳思维的良好题材，在生活中有广泛的应用，另外，数列作为一种特殊的函数，它还有着承前启后的作用，加深了学生对函数概念本质的理解，是这一部分内容与前面的知识连接的更紧密。错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前N项和的重要方法。此本节课具有承上启下的作用。等比数列可以和等差数列行，类比拓展学生，发现创新的能力。等比数列前N项和在现实生活中有着广泛的实际应用，比如说储蓄，分期，付款等，而且公式的推导过程中所渗透的类比划归分类讨论，整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中的必备的数学素养。
内容出处 人教版选择性必修第二册4.3.2
学情分析 学生在之前学习过等差数列前n项和，等着等差数列前n项和公式的形成特点有了一些了解。所以说与等差数列形成过程进行类比学生容易理解。但是本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有着本质的不同，怎样由等差数列前n项和的推导类比到等比数列前n项和的推导过程，这是对学生思维的一种突破。且等比数列前n项和当q=1时，这是一个特殊情况，学生经常会容易忽视。尤其是在后面的使用过程中容易出错。学生此时具有了一定分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但是由于年龄的原因，思维尽管活跃敏捷，但是却缺乏冷静、深刻，因此片面不严谨。
教学目标 掌握并学会运用等比数列前n项和公式以及错位相减法 渗透特殊到一般，类比与转化的数学思想，进一步加强学生分类与讨论的意识，培养学生抽样概括和数学运算能力，体味“一以贯之”思想， 3.通过数学史上丰富的情景问题激发学生对数学的兴趣。通过探索学习模式，培养学生的创新精神。通过知识思考，培养学生思维的深刻性。
教学重点及难点 重点：等比数列前n项和公式，错位相减法 难点：等比数列前n 项和的推导 错位相减法的理解
教法分析 情景激思：通过请教问题引发人的思考，在由学生自主探究得到等比数列前n项和的推导方法。 类比生思：通过从几何类比较代数，培养学生的创造性思维。 追问拓思：通过询问学生还有什么方法促进学生在深度广度上探究。
教学过程 设计意图
【问题探究】（15min） 桂林山水甲天下。信步外出，前方有9条堤岸，每条堤上有9棵树木，每棵树上有9个树枝，每个树枝上有9个鸟巢，每个鸟巢里有9只大鸟，每只大鸟都孵出了9只小鸟，每只小鸟都长出了9片羽毛，每片羽毛上都有9种颜色。问这个人望见的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色，一共是多少？要求： 如果项数比较少，我们可以直接算出每一项相加求和，但是如果项数比较多的时候我们该怎么求和？ 今天我们就来探讨等比数列的前n 项和公式。 【提出问题】已知等比数列{an},首项为a1公比为q（q≠0），求: 在学习等差数列前n项和时我们用更简单的方式表示出了等差数列前n项和，那我们能不能用简得方式表示出等比数列前n项和？同学们有没有什么方法？ 我们在推导出等差数列前n项和学习了倒序相加法，等比数列能不能用倒序相加法？我们来试一下，我们发现相加之后并没有什么规律，所以倒序相加法是不能用的。同学们思考一下，我们倒序相加法从几何上看是不是对求和式翻了个个。我们能否将这种思想运用到等比数列这里？老师在这就要给大家拓展一下了，在分形几何中有这样一个性质：自相似性，在数学中，一个自相似的物体与它自身的某一部分完全或近似的相似。比如说我们的雪花图像，分形树，同学们来观察一下这个分形树： 我们分形树的主枝放大和缩小一定的倍数都和我们的主枝相似。从几何上看，等比数列每一项在形式上都是相似的，前一项比上后一项的比值为q，乘以q和除以q之后可以和前一项或后一项相互转化。那我们Sn能不能和分形树一样，通过左右两边同时乘以q和除以q也会和原来的Sn在形式上相似呢？下边老师左手边的同学将Sn左右两边同时乘以q，右手边的同学将Sn左右两边同时除以q。观察一下变换后的式子和变换前的式子。 【学生展示】左右两边同时乘以q 左右两边同时除以q： 【总结】：我们可以发现，不管是左右两边同时乘以q还是同时除以q，变换前后两式右边有很多相同的项。这时用变换之前的式子减去变换之后的式子就能消去这些相同的项。 我们能得到 或者 经过化简最终的结果都为 这就是当q≠1时的等比数列前n项和公式。其中我们得到等比数列前n项和公式的推导方法为错位相减法。 那么当q=1 时，等比数列的前n项和怎么表示呢？其实 那我们等比数列前n项和就为 【思考】（10min） 我们刚刚得到等比数列前n项和所用的方法叫做错位相减法。同学们还有没有别的方式得到我们等比数列前n项和的公式？ 在几百年之后， 在《兰德纸草书》也有一个类似的问题：有7个人，每人养7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麦穗，每颗麦穗可以长成7个量器的大麦，问人，猫，老鼠，麦穗，大麦共有多少？ 古埃及人这样解决的： 古埃及人解决方法本质是提取公因式，同学们可不可以也用这种方法推导出我们等比数列前n项和？ 【展示】 方法一： 提取一次公因式变成： 再提取一次公因式： 错位相减后得到 化简得到我们等比数列前n 项和 法二： 在方法一中我们使用了两次提取公因式，同学们是不是没有想到，这就给我们一个提醒，在数学学习中，同一个方法可以多次使用。 好了我们已经学习了等比数列的前n项和公式，现在大家来巩固一下新的知识吧。 【巩固新知】(20min) 【例一】：已知数列{an}是等比数列。 (1)若 ，,求S8。 (2)若 ， ，q＜0，求S8 (3)若，，，求n。 解： （1）因为 ，，所以 由，可得 即又因为q＜0，得 所以 把，，带入 得 整理得 解得 【思考】 对于等比数列的相关量a1 ,an,q ,n ,Sn ,已知几个量就可以确定其他量？ 其实就是解方程组问题，已知其中的三个量，即可求出其他两个量。 【例二】；已知等比数列{an}的首项为-1，前n项和为Sn，若，求公比q. 解： 若q=1,则 所以q≠1。 当q≠1时，由得 整理得 所以 【例三】：已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比。 证明：当q=1时 所以Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列，公比为1. 当q≠1时 所以 qn为常数，所以成Sn , S2n-Sn , S3n-S2n等比数列，公比为qn。 我们来回顾一下今天学习了什么，我们学习了等比数列前n 项和的推导方法错位相减法，还总结了等比数列前n项和公式。同学们不仅要会背公式还要掌握怎么去用。 我们今天的课就上到这里，同学们抽空完成课后习题，巩固今天的知识。 通过情景问题，激发学生的兴趣和对本节课内容的思考。 让学生先尝试倒序相加法推导，发现倒序相加法得不到想要的结果，进而引入新的方法。通过将倒序相加法类比到“几何”旋转，再引出由“几何”自相似性类比到等比数列。学生更容易理解推导等比数列前n 项和时为什么要乘以q。 通过左右两边同时乘以q或除以q之间的对比，让学生更好的理解错位相减法。 通过兰德纸草书内容引起学生的思考，进而发现其他推导等比数列前n项和的方法，提高学生知识运用能力和创新性，培养学生思维的深刻性。同时在法一中使用了“一以贯之”的思想，提取了两次公因式，是对学生的一种考验。让学生明白在数学学习中，同一种方法可以在一道题中多次使用。 三道例题选自课本，通过例一让学生思考等比数列已知几个量可以求其他量问题，加深学生对等比数列及等比数列前n项和公式的理解。例二通过讨论q，培养学生分类讨论的思想。例三是本节课的一个升华，通过本题提高学生的自主探索能力。

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