资源简介

4 探索三角形相似的条件
课题 第1课时 相似三角形的有关性质及判定定理1 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P89-90
教学目标 1.经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法。 2.了解相似三角形的概念，掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法。 3.能够运用上述三角形相似的判定定理解决简单的问题，发展应用意识。
教学重难点 重点：两角分别相等的两个三角形相似。 难点：两角分别相等的两个三角形相似的运用。
教学准备 多媒体课件、三角尺、直尺、量角器。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：教师拿着如图所示的三角尺，并提出问题：观察一下我手中的三角尺与你们手中含30°角的三角尺，这两个三角尺相似吗？。 学生活动：学生可直接观察，直观感受上这两个三角形相似；也可向教师借来三角尺与自己手中的比对、测量、计算得到两个三角形相似。 教师提问：我们该如何证明两个三角形相似呢？首先同学们能根据相似多边形的定义来说一下相似三角形的定义吗？ 学生回答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 教师活动：教师肯定学生的回答，并指出定义相似三角形时可以细化到角和边的个数。（板书写出：1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形） 我们该如何证明两个三角形相似呢？这节课，我们来学习相似三角形的有关性质及判定定理1。（教师板书课题： 第1课时 相似三角形的有关性质及判定定理1） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。通过类比相似多边形的定义，引导学生得到相似三角形的定义，为接下来的学习奠定基础。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：根据相似三角形的定义我们可以得到相似三角形的性质：相似三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例（板书写出：2.相似三角形的性质）；同样也可以得到相似三角形的判定：两个三角形，若三角分别相等、三边成比例，则可以判定这两个三角形相似。 教师提问：这些条件是否一个也不能少呢？如果能少，至少需要几个条件呢？一个条件可以吗？两个条件可以吗？ 师生活动：留给学生一定的思考时间，引导学生类比探究三角形全等的条件的过程、方法，对需要探索的情况进行分类。 想一想： 教师活动：引导学生先考虑角，从最少的条件出发，提问：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？ 学生活动：对于只有一个角相等学生很容易通过想象得出否定的结论。 教师活动：再引导学生增加条件，提问：如果有两个角分别相等呢？ 师生活动：教师可引导学生通过画图、动手操作，借助几何直观对结论进行初步猜测：如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。 做一做： 与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时∠C与∠C′相等吗？三边的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？ 学生活动：学生通过操作可以得到：∠C与∠C′相等，三边的比，，相等，根据相似三角形的定义可以得到两个三角形相似。 教师活动；教师利用几何画板改变∠α和∠β的大小，发现∠A=∠A'，∠B=∠B'的关系仍然不变，同时发现在此过程中∠C=∠C'。借助几何画板的度量和计算功能，分别度量出两个三角形三边的长度，计算出两个三角形三组对应边的比值，发现它们也相等。此时可以得出：如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。 【归纳总结】 定理：两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言： 在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴△ABC∽△DEF。 （教师在教学时可向学生说明：可以证明，这个结论是正确的，证明的过程在下一节介绍，是选学内容） 【教材例题】 例1 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C。 ∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴=。 ∴BC===14。 【拓展延伸】 常见的两角相等模型 （1）平行线型： 如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 （2）蝴蝶型： 如图，若∠B＝∠C（或∠D＝∠E），则△AED∽△ABC。 （3）子母型： 如图，若∠ADC（E）＝∠ACB（或∠AC（E）D＝∠B），则△AC（E）D∽△ABC。 根据相似三角形的定义，提出本节课的主要探索任务，同时提出探索的方法或路径，即类比探索三角形全等的条件的方法，探索三角形相似的条件。 为本节各课时的活动埋下伏笔。 通过学生的动手操作实验与教师借助几何画板的演示验证，让学生归纳总结出相似三角形的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似， 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 让学生初步认识几个常见的相似三角形的典型图，明白各个图形之间的联系，以及各个图形的结构特点。
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形的有关概念 例1 下列三角形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个直角三角形 D. 有一角为70°的两个等腰三角形 答案：B 变式训练 若△ABC与△DEF的相似比为1∶ 2，若BC=2，则EF的长是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 答案：C 考点2 两角分别相等的两个三角形相似 例2 含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）与含45°角的直角三角板BCD如图放置，它们的斜边AC与斜边BD相交于点E。下列结论正确的是（ ） A. △ABE∽△CDE B. △ABE∽△BCE C. △BCE∽△DCE D. △ABC∽△DCB 答案：A 变式训练 如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 答案：D 通过例题的讲解，巩固学生理解三角形的有关概念，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A. 都含有一个50°的内角 B. 都含有一个70°的内角 C. 都含有一个80°的内角 D. 都含有一个100°的内角 答案：D 2.如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 0对 答案：C 3. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD∶DE=3∶5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ） A. B. C. D. 答案：A 4. 如图，△ABC是正三角形，点D，E分别是BC，AC上的点，当∠ADE=_______时，△ABD∽△DCE。 答案：60° 5. 已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE。 解：∵∠1=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。 ∵∠ADC是三角形一个外角， ∴∠ADE=∠1+∠B，即∠2+∠ADE=∠1+∠B。 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠ADE。 ∴△ABC∽△ADE。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的性质 相似三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例。 3.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P90-91习题4.5中的T1、T2、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 相似三角形的有关性质及判定定理1 1.相似三角形的定义 2.相似三角形的性质 3.相似三角形的判定定理1 4.常见的两角相等模型 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生以前已经学过相似多边形的特点，而且普遍掌握较好，因此，没有必要再以问题的形式逐步总结认识相似三角形。 2.教学时应该将重点放在探索“至少有几个角对应相等就能保证两个三角形相似”科学合理的逻辑推理上，能让学生通过探索和应用、体会数学的实际价值，从而培养学生善于探索研究的能力。为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。 3.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及组织小组合作学习的形式，帮助学生形成积极主动的求知态度。在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发、学生合作交流中注意的问题等，使小组合作学习更具实效性。 反思，更进一步提升。

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