资源简介

4 探索三角形相似的条件
课题 第4课时 黄金分割 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P95-96
教学目标 1.知道黄金分割的定义；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；会找一条线段的黄金分割点。 2.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。 3.理解黄金分割的现实意义，让学生认识数学与人类生活的密切联系。
教学重难点 重点：了解黄金分割的意义并能运用。 难点：找出黄金分割点和作黄金矩形。
教学准备 多媒体课件、量角器、直尺、三角尺、圆规。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：多媒体展示三组图片。 第一组：建筑中的黄金分割 文明古国埃及的金字塔，它的每面的边长与高之比接近于0.618。埃菲尔铁塔第二层到塔顶的高度和整个塔身的高度比是0.618。 第二组：摄影中的黄金分割 第三组：人体与黄金分割 舞蹈演员的腿和身材的比例也近似于0.618，看上去会感到和谐、平衡、舒适，有一种美的感觉。 教师活动：多媒体再展示三张图片。并提问：通过观察，你觉得下面那幅图最有美感？ 学生回答：学生通过观察，根据自己的理解说一说。 教师活动：事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系。 这节课，我们来学习黄金分割。（教师板书课题： 第4课时 黄金分割） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 一个五角星如图所示。 （1）从图中找出相等的角、相等的线段。 （2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形。 师生活动：引导学生寻找其中的相等角、相等线段，以及全等三角形、相似三角形。可以发现：整个图形共有四种不同长度的线段，教师可进一步引导学生思考这四种线段之间的比例关系。 教师活动：有学生认为（教师可根据学生的回答，引导学生思考；如若学生没有想到这个比例式，教师可主动提出，并要求学生判断其是否正确），同学们同意他的看法吗？说说你的理由。 学生活动：学生可直接测量得到结论，也可利用相似三角形的性质得到结论。 教师活动：教师根据学生的回答归纳总结黄金分割的定义。 【归纳总结】 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比。 【教材例题】 例4 计算黄金比。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：由，得AC2=AB·BC。 设AB=1，AC=x，则BC=1-x。 ∴x2=1×（1-x）， 即x2+x+-1=0。 解这个方程，得 x1=，x2=（不合题意，舍去）。 所以，黄金比=≈0.618。 【探究2】 想一想： 图1是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，。点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 预设：由，可以得到，即。所以点E是AB的黄金分割点。（即）是黄金比，也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比。 教师活动：历史上，与黄金分割有关的趣闻有很多。教师教学时可以鼓励学生亲自动手收集这方面的资料，然后通过展示，使学生感受数学与生活的联系。 【拓展延伸】 教师提问：如何找到一条线段的黄金分割点？ 学生活动：多数学生尝试画出1 cm，2 cm的线段，通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a时黄金分割点的位置，但不能精确地找到。 预设：如图，设AB是已知线段， （1）经过点B作BD⊥AB，使； （2）连接DA，在DA上截取DE=DB； （3）在AB上截取AC=AE。 点C就是线段AB的黄金分割点。 教师活动：教师给出一种作黄金分割点的一种方法，可以引导学生说说其中的道理。 师生活动：教师鼓励学生在此方法基础上再思考其他作图方法。 预设：如图，已知线段AB， （1）以线段AB为边作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至点F，使EF=EB； （4）以AF为边作正方形AFGH； 点H即为线段AB的黄金分割点。 （教学中，教师可以引导学有余力的学生思考这类问题的本质，开阔学生的视野，提升学生的思维品质） 利用五角星问题，创设一个有利于学生探究和综合应用线段的比、成比例线段、以及相似三角形的情境，并根据对应线段成比例通过等量代换得到相关结论。在学生已有的知识背景和活动经验的基础上，为学生提供了操作、思考与交流的机会，让学生在合作交流中体验成功与快乐。此时引出本节重点内容黄金分割的定义 学生在教师的引导下总结相似多边形的定义。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 将黄金分割应用于实际的生活中展示黄金分割的文化价值，将生活中的实际问题抽象出几何问题，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要。同时也检验了学生对前面探究活动的认识程度。也体现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。 线段黄金分割点的作法是本节难点问题，要想突破此难点：如何做出长度为的线段，是突破此题的关键。基于学生能够在数轴上作出有关的无理数，构造直角三角形算斜边的方法可以得，引入作法是为了提起学生探索的欲望，锻炼学生动手操作的能力同时进一步巩固学生对黄金分割的认识。教师在这个环节中扮演一个合作者、参与者的角色。
3.学以致用，应用新知 考点1 黄金分割的有关概念 例1 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且ACPB），AB=2，则AP的长为（ ） A. -1 B. 3- C. +1 D. 3+ 答案：A 考点2 黄金分割的应用 例2 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工。如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），若线段AB的长为4 cm，则AP的长为（ ） A. 2-2 B. 2+1 C. 6-2 D. 2-1 答案：A 变式训练 小良帮助爸爸妈妈一同在家装市场选购新家的地板样式，期间被一款如图，类似鱼骨的拼接方式所吸引。通过和手工师傅交流，与自己实际动手操作，她发现图中所有矩形地板是全等的，并且符合黄金分割比例。比如点M是BC的黄金分割点，即CM≈0.618BC。延长HI与BC相交于点N，则CN=_______CM。（精确到0.001） 答案：0.382 通过例题的讲解，巩固学生理解黄金分割的有关概念，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用黄金分割，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割 答案：D 2. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好。若舞台长20 m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（ ） A. （20-x）2=20x B. x2=20（20-x） C. x（20-x）=202 D. 以上都不对 答案：A 3. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。如图，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A. 6 cm B. 10 cm C. 4 cm D. 8 cm 答案：D 4. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种"“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB。已知AB为4 m，则线段BE的长为_______m（结果保留根号）。 答案：2-2 5. 如图，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点的黄金分割点，求C，D之间的距离。 解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC=BD=80×=（40-40）cm。 ∴CD=BD-（AB-BD）=2BD-AB=（80-160）cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.黄金分割定义 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。 2.黄金比 AC与AB的比叫黄金比。黄金比=≈0.618。 3.黄金分割点的作法 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P98习题4.8中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第4课时 黄金分割 1.黄金分割的定义 2.黄金比 3.黄金分割点的作法 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.通过利用黄金分割尺规作图，了解黄金分割作图方法的原理，体会数形结合的思想。 2.在整个教学过程中，教师应积极的启发引导，留出充分的时间给学生自主探究和合作交流。 反思，更进一步提升。

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