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5 相似三角形判定定理的证明
课题 第*5节 相似三角形判定定理的证明 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P99-102
教学目标 1.了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力，会证明相似三角形判定定理。 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题。
教学重难点 重点：会证明相似三角形判定定理。 难点：运用相似三角形的判定定理解决相关问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师提问：相似三角形的判定方法有哪些？ 学生回答：（1）两角分别相等的两个三角形相似。 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （3）三边成比例的两个三角形相似。 同学们能对它们进行证明吗？在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，这节课（建议2~3课时教学），我们来学习相似三角形判定定理的证明。（教师板书课题： 第*5节 相似三角形判定定理的证明） 回顾三角形相似判定定理，为证明判定定理做准备。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 三角形相似判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 教师活动：引导学生根据文字命题画图。 教师活动：引导学生根据图形和文字命题写出已知和求证。 已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 教师活动：鼓励学生自主自主证明，如若学生证明有难度，教师可以指导学生证明思路，再让学生尝试证明。 证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据相似三角形的定义证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。 过点D作AC的平行线，交BC于点F，则 （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。 ∴。 ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE＝CF。 ∴。 ∴。 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC。 ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A'B'C'。 教师活动：教师给出证明过程，引导学生进行比对，查找不足，教师可以对铺底部分挖空，调动学生注意力，强化学生训练。 【探究2】 三角形相似判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 教师活动：鼓励学生类比探究1，按照“画图、写己知、求证、证明过程”的一般步骤自主完成判定定理2的证明。 已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 证明思路：首先在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，作DE∥BC，然后根据已证明的定理“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴。 ∵，AD=A′B′， ∴。 ∴。 ∴AE=A′C′。 而∠A=∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′。 【探究3】 三角形相似判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 教师活动：鼓励学生类比探究1和探究2，按照“画图、写己知、求证、证明过程”的一般步骤自主完成判定定理3的证明。 已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明思路：首先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE；然后根据已经证明的定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；接着证明△ADE≌△A'B'C'。 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，AE＝A′C′，连接DE。 ∵，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴。 而∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴。 又，AD=A′B′， ∴。 ∴。 ∴DE=B′C′。 ∴△ADE≌△A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′。 证明相似三角形判定定理1。本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤：画图、写己知、求证、证明过程。同时通过分析问题，提高学生交流的能力和语言表达能力! 判定定理2与判定定理1的证明过程有一些相似之处，有了判定定理1的证明作基础，证明判定定理2时可引导学生自主探索证明思路和证明方法。 在证明△ABC∽△ADE时，要注意运用判定定理1，这也体现了转化的思想. 由于学生已经有了判定定理2证明的基本方法和思路，因此，判定定理3证明起来应该很顺利,可以大胆放手给学生，这样更能激发学生的求知欲望，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦。 在本定理的证明过程中，证明△ADE≌△A'B'C'时要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加。
3.学以致用，应用新知 考点1 两角分别相等的两个三角形相似 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ） A. △ABC B. △ADE C. △DAB D. △BDC 答案：C 变式训练 如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD。 求证：△ABC∽△BDC。 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD。 ∵∠BAC=40°， ∴∠ABD=40°。 ∵∠ABC=80°， ∴∠DBC=40°。 ∴∠DBC=∠BAC。 ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC。 考点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，下列命题中，假命题是（ ） A. 若，则△ADE与△ABC相似 B. 若，则△ADE与△ABC相似 C. 若，则△ADE与△ABC相似 D. 若∠ADE=∠B，则△ADE与△ABC相似 答案：A 变式训练 如图，在△ABC中，D，E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4。 求证：△ADE∽△ACB。 证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4， ∴AB=5+7=12，AC=6+4=10。 ∴==，==。 ∴=。 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB。 考点3 三边成比例的两个三角形相似 例3 在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ） ①；②；③∠A=∠A′；④∠C=∠C′。 A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 答案：C 变式训练 如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上，△ABC与△DEF是否相似？请说明理由。 解：△ABC与△DEF相似。理由如下： ∵AB==，BC==，CA=2， DE==2，EF=5，FD==， ∴==，=，==。 ∴===。 ∴△ABC∽△DEF。 通过例题的讲解，巩固学生应用判定定理1，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用判定定理2，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用判定定理3，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ） A. △ADE∽△AEF B. △ECF∽△AEF C. △ADE∽△ECF D. △AEF∽△ABF 答案：C 2. 如图，已知△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；④AB·CP=AP·CB。能满足△APC∽△ACB的条件是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 答案：D 3. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为_______。 答案：3 4. 如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点。 求证：△DEF∽△CBA。 证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴=，=，=。 ∴==。 ∴△DEF∽△CBA。 5. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AE=4，AB=6，AD∶AC=2∶3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F。 （1）请你直接写出图中所有的相似三角形； （2）求AG与GF的比。 解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB。 （2）∵==，=， ∴=。 又∵∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ACB。 ∴∠ADG=∠C。 ∵AF为角平分线， ∴∠DAG=∠FAE。 ∴△ADG∽△ACF。 ∴==。 ∴=2。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 2.判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3.判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P102习题4.9中的T1、T2、T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第*5节 相似三角形判定定理的证明 1.判定定理1 2.判定定理2 3.判定定理3 提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的。它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸。本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用。课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的语言表达能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性。积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣。 反思，更进一步提升。

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