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第十二章 平面图形的认识
12.3 圆
《圆》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第三节的内容．在平面几何知识体系中占据重要地位．圆是一种特殊的平面图形，它与之前所学的直线图形在研究方法和性质上有很大差异 ，是对图形认识的进一步深化．从知识的前后联系来看，它是在学生学习了直线、角、三角形等基本图形的基础上进行的，同时也为后续学习圆的性质、与圆有关的位置关系以及圆的计算等内容做铺垫．通过对圆的学习，有助于学生进一步理解平面图形的多样性，掌握从不同角度研究图形的方法，提升学生的空间观念和逻辑推理能力，对培养学生的数学素养起着关键作用．
1．认识圆，理解圆的本质属性，经历探索圆的形成过程，发展学生的数学思考能力．
2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系．
3．初步了解点与圆的位置关系．
4．体会圆在生产生活中的广泛运用，感受数学的价值，体会圆的匀称美、培养审美意识．
重点：理解圆、弦和弧的概念，会判断点与圆的位置关系．
难点：了解与圆有关的概念之间的区别和联系．
复习回顾
1．在小学，我们学习了用圆规画圆，则你知道用圆规画圆的道理吗？
步骤：
（1）定长 把圆规的脚分开，定好两脚间的距离．
（2）定点 把有针尖的一只脚固定在一点上．
（3）旋转 把有铅笔的那只脚绕固定点旋转一周．
2．除此之外，你还有其他画圆的方法吗？
把一根没有弹性的绳子的一端固定在平面内一点上，另一端系一根铅笔，把绳子拉紧，让铅笔尖绕固定点旋转一周，就可以画出一个圆．
师生活动：教师提问，引导学生回忆小学用圆规画圆的方法和步骤，并让学生分享其他画圆方法；学生积极思考、回答问题，动手尝试用绳子画圆．
设计意图：通过回顾旧知，唤起学生已有经验，为学习新知识做铺垫，同时激发学生学习兴趣，自然引出新课．
探究新知
活动一：探究圆的概念及特点
1．在图中，你能找到哪些圆？这些圆有什么共同特点？
2．如图，在平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫作圆(crcle)，点O叫作圆的圆心．以点O为圆心的圆记作 O，读作“圆O”．连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径(radius)，用“r”表示，线段OA是 O的一条半径．
一个圆有无数条半径．
3．连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径．图中，线段AB，CD都是 O的弦，其中弦AB是 O的一条直径．
归纳：直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径．
师生活动：教师引导学生观察并思考圆的共同特点，讲解圆、圆心、半径、弦、直径的概念；学生认真观察、思考、发言，参与概念的归纳总结．
设计意图：让学生经历圆的概念形成过程，加深对圆本质属性的理解，培养学生观察、归纳能力．
活动二：探究点与圆的位置关系
1．如图，以O为圆心，画一个半径为1．5cm的圆，在圆上任意取A，B两点，连接OA，OB．
OA与OB的长分别是多少？
OA=1．5 cm，OB=1．5 cm．
任取一点C，使得OC=1．5 cm，点C的位置在圆周上吗？
点C在圆上．
如果M，N是平面内的两点，且OM=1．8cm，ON=lcm，你能分别说出点 M，N与圆的位置关系吗？
点M在圆外，点N在圆内．
（4）观察平面内的点与圆有几种位置关系．
平面内的点与圆有三种位置关系:点在圆外，点在圆上，点在圆内．
（5）圆上的点具备什么特点？点满足什么条件才会在同一个圆上？
圆上各点到圆心的距离都等于半径，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
因此，圆可以看作是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形．
2．点与圆的位置关系
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径．
点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径．
点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．
圆是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形．
师生活动：教师引导学生画圆并进行点与圆位置关系的探究，提问相关问题；学生按要求画图、测量、思考并回答问题，总结点与圆的位置关系．
设计意图：通过操作和探究，让学生直观感受点与圆的位置关系，培养学生自主探究和逻辑推理能力．
活动三：探究与圆相关的概念
1．圆上任意两点间的部分叫作弧，用符号“ ”表示．以C，D两点为端点的圆弧记作CD，读作“弧CD”．直径把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如CBD，小半圆的弧叫作劣弧，如CD．
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作扇形．如图，扇形OCAD由半径OC，OD与CD组成；扇形OCBD由半径OC，OD与CBD组成．
半径相等的圆叫作等圆．图1中，⊙和⊙的半径都是r，所以它们是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧．
图1 图2
图2中的两个圆都以点O为圆心，半径分别是和()，它们的圆心相同，半径不相等．圆心相同，半径不相等的圆叫作同心圆．
2．想一想：长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合． 实际上这两条弧弯曲程度不同． “等弧”要区别于“长度相等的弧”．
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中．
3．问题1 以定点A为圆心可以画几个圆？
问题2 以2cm为半径可以画几个圆？
问题3 以定点O为圆心，以定长r为半径可以画几个圆？只有一个
问题4 确定一个圆需要哪些要素？一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
问题5 圆是指圆周还是圆面？圆周
师生活动：教师讲解弧、半圆、优弧、劣弧、扇形、等圆、同心圆、等弧的概念，提出思考问题；学生听讲、理解概念，动手操作、观察比较，讨论并回答问题．
设计意图：帮助学生理解与圆相关的概念，通过对比分析，强化对易混淆概念的区分，培养学生严谨的数学思维．
应用新知
例1．判断下列说法的正误．
（1）弦是直径； 必须经过圆心的弦
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径； 过圆心的弦是直径
（4）过圆心的直线是直径； 直径是线段
（5）半圆是最长的弧； 优弧比半圆弧长
（6）直径是最长的弦；
（7）长度相等的弧是等弧． 等弧是同圆或等圆中，能互相重合的两段弧．
例2．如图．
（1）请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
劣弧：AF， AD， AC， AE．
优弧：AFE， AFC， AED， AEF．
（2）请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF，AB，AC．其中弦AB又是直径．
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧．
答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是AF， AEF．
例3．如图，某同学投掷铅球的成绩为8．6m，则他投出的铅球落在中的哪个区域？
分析：投掷铅球时，铅球运行的轨迹是抛物线形状，测量的距离是起点和终点的直线距离．
解：他投出的铅球落在区域③．因为，所以铅球落在区域③．
例4．如图，已知矩形ABCD的边，，，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A有怎样的位置关系？
分析：比较AB，AD，AC与半径4的大小，距离等于半径时点在圆上，小于半径在圆内，大于半径在圆外．
解：如图，因为，，，所以点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析题目，运用所学知识解答；学生认真听讲、思考，参与例题解答过程，积极发言．
设计意图：通过例题巩固所学概念和位置关系判断方法，让学生学会运用知识解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．
课堂练习
1．下列条件能确定圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以2cm为半径
C．以点O为圆心，以3cm为半径
D．经过已知点A
答案:C．
2．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
答案：A．
3．下列语句中正确的有( )
①直径是弦；②弦是直径；
③半径相等的两个半圆是等弧；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半圆是弧，弧不一定是半圆。
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
解：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半圆是弧，半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；只有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确．
4．已知⊙O的半径为8cm，A为平面内一点．当OA符合下列条件时，分别指出点A与O的位置关系:
（1）；
（2）；
（3）．
分析：比较OA与半径的大小．
解：（1）因为⊙O的半径为8cm，，所以点A在⊙O内．
（2）因为⊙O的半径为8cm，，所以点A在⊙O上．
（3）因为⊙O的半径为8cm，，所以点A在⊙O外．
5．（1）圆的一条弦所对的弧有几条？怎样区分它们？
（2）如图，图中有几条弧？哪些是优弧？哪些是劣弧？
分析：圆上任意两点间的部分叫作弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧．直径把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
解：（1）圆的一条弦所对的弧有2条，直径对的弧叫半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧．
（2）图中有11条弧，半圆有2条，优弧有CAB，ABD，CAD，CBA，劣弧有CD，AC，DB，CB，AD．
师生活动：教师布置练习题，巡视指导；学生独立完成练习，遇到问题举手提问，完成后同桌交流讨论．
设计意图：及时巩固所学知识，加深对知识点的理解和掌握，通过练习发现学生存在的问题，及时进行查漏补缺，同时培养学生独立思考和合作交流的能力．
课堂检测
1．如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有 条弦．
分析：连接圆上任意两点的线段叫作弦,根据概念判断即可．
解：根据弦的定义判断，在⊙O中弦有AB，BC，CE．
故答案为：3．
2．下列说法正确的是( )
① 过圆心的线段一定是圆的直径；
② 等圆的半径相等；
③大于劣弧的弧叫作优弧；
④ 若一个圆在另一个圆的内部，则这两个圆是同心圆．
解：①过圆心的线段不一定是圆的直径，故错误；
②等圆的半径相等，故正确；
③大于半圆的弧叫作优弧，故错误；
④若一个圆在另一个圆的内部，这两个圆不一定是同心圆，故错误．
故答案为：②．
3．在△ABC中，，，．
（1）以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，确定点B、C与⊙A的位置关系；
（2）以点B为圆心，以4cm长为半径画圆，确定点A、C与⊙B的位置关系．
分析：根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断点与圆的位置关系:距离等于半径时点在圆上，小于半径在圆内，大于半径在圆外．
解：（1）因为厘米=半径，厘米>半径，所以以点A为圆心，以3厘米长为半径画圆时，点B在圆上，点C在圆外．
（2）因为厘米<半径，厘米=半径，所以以点B为圆心，以4厘米长为半径画圆时，点A在圆内，点C在圆上．
师生活动：教师发放检测题，规定时间让学生完成，批改、反馈；学生认真答题，根据教师反馈进行思考和总结．
设计意图：全面了解学生对本节课知识的掌握情况，对学生学习效果进行评价，为后续教学提供参考，培养学生应试能力和认真严谨的学习态度．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．圆的定义？
3．点与圆的位置关系？
设计意图：帮助学生梳理本节课知识，构建知识体系，加深对重点知识的记忆和理解，培养学生归纳总结和反思的能力．
实践应用
自古到今从古代的马车到现在的自行车他们的轮子都做成圆的，而不做成方形了或三角形了，这其中蕴含的数学道理？

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