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第02讲 4.2.1等差数列的概念
课程标准 学习目标
①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 ②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题
知识点01：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点02：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数的等差中项是（　　）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【详解】两个数的等差中项为.
故选：C．
知识点03：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．

【答案】
【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列，
且首项，公差，
所以.
知识点04：等差数列与一次函数
等差数列 一次函数
表达式：
不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线.
相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组).
知识点05：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点．
(1)求数列的通项公式；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为递减数列．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
因为，是等差数列的图象上的两点，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：

（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．
知识点06：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点07：等差数列的性质
①
②若，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
题型01等差数列的判定
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【详解】令，则
故，为常数，
故数列是等差数列
故选：A.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列．
【答案】证明见解析
【详解】证明：已知数列的前项和为
当时，
所以
又当时，符合上式，所以
则，所以数列是等差数列
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列.
【答案】证明见解析
【详解】证明：设，由可得，
从而可得，，，，，
由上可知，对任意的，（常数），
因此，数列为等差数列.
【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】AB
【详解】对于A，当时，，而满足上式，
则，数列是常数数列，是等差数列，A是；
对于B，当时，，而满足上式，
则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列不是等差数列，C不是；
对于D，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列的不是等差数列，D不是.
故选：AB
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，，得当时，，
于是，
而当时，亦满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，当时，，
因此．
所以数列是一个以2为公差的等差数列．
题型02 等差数列的通项公式及其应用
【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以.
故选：D
【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【详解】由变形为，
等式两边同除以得，，
故为公差为的等差数列，
所以，所以．
故答案为：
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【答案】证明见解析，
【详解】证明：在等式两边同时除以，可得，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
因此，，故.
【变式1】（2023春·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【详解】因为,，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
令，可得，解得.
因为,所以,所以n的最大值为4.
故选:B.
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在数列中，，，则 .
【答案】
【详解】依题意，，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，对任意总有，且，则 ．
【答案】
【详解】因为，，
令,则，故，
∴为等差数列，首项和公差均为，
∴，∴，
故答案为：.
题型03 等差数列通项公式基本量计算
【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)如果，，求公差d和；
(2)如果，，求公差d和．
【答案】(1)，；
(2)，．
【详解】（1）由等差数列的定义，可知公差，．
（2）由题意知公差，．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由等差数列的通项公式，得
（2）设等差数列的公差为d，那么，解得．
所以．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由知：；
（2）因为，，所以，所以，
解得；
（3）由知：，解得.
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，，，求首项与公差d．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为d，
由，得，
解得.
题型04 等差中项及其应用
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．13 B．26 C．39 D．52
【答案】D
【详解】因为是等差数列，所以，解得，
所以．
故选：D．
【典例2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
【答案】21
【详解】由知，数列是等差数列，∴成等差数列．
∴，∴.
故答案为：21.
【变式1】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
【变式2】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 .
【答案】24
【详解】解：因为在等差数列中，有，
所以由，
得，，
又，
所以.
故答案为：24
【变式13】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则 ．
【答案】
【详解】因为数列为等差数列，
所以，即，
所以.
故答案为：.
题型05 等差数列性质的应用
【典例1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在等差数列中，，可得，
所以，
.
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是公差为的等差数列，所以，
因为成等差数列，所以，
所以，即，所以，
又因为，所以，
则，
故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，若，则的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【详解】解：依题意，由，得，即
所以
故选C
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若等差数列的前15项和，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由题得.
.
故选：
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，，，求的值．
【答案】
【详解】在等差数列中，，，
所以，即，解得.
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列是等差数列，且，求．
【答案】
【详解】由等差数列性质知：，
，.
题型06 等差数列的单调性
【典例1】（多选）（2023·江西南昌·校考模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）.
A．数列是递增数列
B．数列是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列是递增数列
【答案】AD
【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，
，当时，数列不是递增数列，故②不正确，
，当时，不是递增数列，故③不正确，
，因为，所以是递增数列，故④正确，
故选：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由题,对任意的正整数,都有恒成立,
,即恒成立,
对任意的正整数恒成立,
,即
【变式1】（2022·全国·高二专题练习）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【变式2】（多选）（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列
【答案】AD
【详解】解：因为，所以，又，
所以是由为首项，为公差的等差数列，
因为公差小于，所以是递减数列；
故选：AD
题型07 等差数列中的最大（小）项
【典例1】（2023春·高二课时练习）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
【答案】A
【详解】由，即，解得，因为,故.
故选：A.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列中，，数列满足.
(1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式；
(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)，最大项为，最小项为.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，又，
所以，
∴数列是以1为公差的等差数列；
又∵，，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，；
（2）∵，
所以，
∴作函数的大致图象，

∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为；
另解：因为，
当时，数列是递减数列，且，，
当时，数列是递减数列，且，
所以在数列中，最大项为，最小项为.
【变式1】（2023春·高二课时练习）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 .
【答案】-1
【详解】数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.
又a8＝3，a9＝－1.
所以绝对值最小的项为a9＝－1.
故答案为：-1
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
【答案】（1）8 （2）当或时，取得最小值-20.
【详解】解（1）令，即，
解得（舍去）或，
因此10是数列中的第8项.
（2）由，且知，
当或时，取得最小值-20.
所以数列中的最小项为：
题型08构造等差数列
【典例1】（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．9 B． C．11 D．
【答案】B
【详解】由数列满足，可得，即，
因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式.
【答案】
【详解】将两边取倒数得：，
这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，
∴，即，经检验，满足上式，
故通项公式为.
【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为，
所以是以为首项，以公差的等差数列，
所以，
则，
故答案为：.
【变式2】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.
【答案】
【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
题型09等差数列的实际应用
【典例1】（2023春·陕西西安·高二统考期中）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，，
，，，，都是直角三角形，
，且，故，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
又，，
数列的通项公式为，
，
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
【答案】
【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得
．
由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列．
因为购进设备的价值为220万元，所以，
于是．
根据题意，得，
即，
解这个不等式组，得．
所以d的取值范围为．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表：
年份 2014 2015 2016 2017
噪声/dB 57.8 57.2 56.6 56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
【答案】
【详解】从2014年起，每年的年份从1开始记起，
设2014年噪声为，2015年噪声为，2016年噪声为，2017年噪声为，
从表中数据可知：，
所以数列为等差数列，，
由题意可知：，
因此从2014年起，需要年，噪声平均值将小于42dB，
所以从2017年起，需要年，噪声平均值将小于42dB.
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：
年份 2015 2016 2017 2018
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？
【答案】2024
【详解】由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为，
则，公差，
故通项公式为，
令，解得，
，
故至少到2024年该城市的绿化覆盖率可超过.
题型10等差数列在传统文化中的应用问题
【典例1】（2023春·陕西安康·高二统考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．56 B．57 C．58 D．59
【答案】C
【详解】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，
所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列，
即.
由题意知且，得，
解得，，所以此数列的项数为58项.
故选：C.
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【答案】/
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为，
则立春的日影子长为第项，芒种的日影子长为第项，立夏的日影子为第项，
所以，解得，
则，
所以立夏的日影子长为尺.
故答案为：.
【变式1】（多选）（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱 ”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【答案】BD
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以，，，，
所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，
所以戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：BD.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】A
【详解】因为等差数列中，，公差，所以，则，所以，即，解得.
故选：A.
2．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）在等差数列中，若，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】依题意，.
故选：C
3．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在数列中，，，则数列是（ ）
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为的等差数列 D．不是等差数列
【答案】B
【详解】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确.
故选：B.
4．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】C
【详解】设此等差数列为，公差为，
由题意可得：
则，联立解得
故选：C．
5．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）在数列中，，，则（ ）
A．121 B．100 C．81 D．64
【答案】C
【详解】因为，所以，故数列是公差为的等差数列，
因为，所以，则.
故选：C
6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为首项为的等差数列，从第项起开始为正数，
所以，即，解得，
故选：C
7．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）在数列中，，，若，则等于（ ）
A．671 B．673 C．674 D．675
【答案】C
【详解】由，得，即是以为首项，为公差的等差数列，
故，由，解得．
故选：C．
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
则，，，，，
因此，.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
【答案】AD
【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确；
对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误；
对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误；
对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大，
故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确，
故选：AD
10．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
【答案】CD
【详解】由可得，所以是以公差为1的等差数列，故CD正确，
，故不是等差数列，而且为单调递减数列，故AB错误，
故选：CD
三、填空题
11．（2023秋·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知为等差数列，，，则 ．
【答案】1
【详解】设公差为，
由，，
得，解得，
所以.
故答案为：.
12．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，而，则 .
【答案】0
【详解】等差数列的首项，，则.
故答案为：0.
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．

【答案】．
【详解】解法一：由题意，可得．
设公差为d，则，解得．
因此，
，
．
因此，其余三级的宽度分别为．
解法二：因为等差数列为，共5项．
又因为，所以，即．
类似地，，
所以．
因此，其余三级的宽度分别为．
14．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列8，5，2，…．
(1)求该数列的第20项．
(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
(3)该数列共有多少项位于区间内？
【答案】(1)；
(2)是该等差数列的第44项；
(3)67项．
【详解】（1）记该等差数列为，公差为d，
由，，得数列的通项公式是．
该数列的第20项．
（2）由第一问，，
如果是这个数列的项，则方程有正整数解．
解这个方程，得，故是该等差数列的第44项．
（3）由第一问，，
解不等式，得．
因此，该数列位于区间内的项从第4项起直至第70项，共有67项．
B能力提升
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（ ）
A．14155 B．6073 C．4047 D．4045
【答案】D
【详解】根据题意，得；；
故，把中的项按6个一组划分，
则第组可表示为，，，，，
，，
又，故是第组的第一个数，则．
故选：D．
2．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040 B．4043 C．4046 D．4049
【答案】B
【详解】由可得；
两式相减可得；
即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，
所以可得，即；
当时，，因此.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（ ）.
A．6 B．16 C． D．2
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则由，得
，
则，
因为，所以（），
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2，
故选：D
4．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.
(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，在数列中，，，则，
所以，，，，
猜想，对任意的，.
（2）证明：因为，，则，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，故对任意的，.
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列的前n项和为，，且数列满足________．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【详解】（1）选择①：，则.
，则.
选择②：，
.
（2）选择①：由，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
选择②：当时，；
当时，，不符合上式，
故的通项公式为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 4.2.1等差数列的概念
课程标准 学习目标
①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 ②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题
知识点01：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点02：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数的等差中项是（　　）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【详解】两个数的等差中项为.
故选：C．
知识点03：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．

【答案】
【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列，
且首项，公差，
所以.
知识点04：等差数列与一次函数
等差数列 一次函数
表达式：
不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线.
相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组).
知识点05：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点．
(1)求数列的通项公式；
(2)画出数列的图象；
(3)判断数列的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为递减数列．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d．
因为，是等差数列的图象上的两点，
所以，，即，解得．
因此，．
（2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：

（3）因为公差，所以等差数列为递减数列．
知识点06：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点07：等差数列的性质
①
②若，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
题型01等差数列的判定
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列.
【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列．
题型02 等差数列的通项公式及其应用
【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【变式1】（2023春·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列满足，，则当时，n的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在数列中，，，则 .
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，对任意总有，且，则 ．
题型03 等差数列通项公式基本量计算
【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．
(1)如果，，求公差d和；
(2)如果，，求公差d和．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，，，求首项与公差d．
题型04 等差中项及其应用
【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．13 B．26 C．39 D．52
【典例2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
【变式1】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【变式2】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 .
【变式3】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知数列为等差数列，且，则 ．
题型05 等差数列性质的应用
【典例1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，若，则的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若等差数列的前15项和，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列中，，，求的值．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列是等差数列，且，求．
题型06 等差数列的单调性
【典例1】（多选）（2023·江西南昌·校考模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）.
A．数列是递增数列
B．数列是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列是递增数列
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，对任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【变式1】（2022·全国·高二专题练习）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（多选）（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列D．是递减数列
题型07 等差数列中的最大（小）项
【典例1】（2023春·高二课时练习）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列中，，数列满足.
(1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式；
(2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.

【变式1】（2023春·高二课时练习）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是 .
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）试问10是数列中的项吗？
（2）求数列中的最小项.
题型08构造等差数列
【典例1】（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．9 B． C．11 D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式.
【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列中，，且.则数列的通项公式为 .
【变式2】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.
题型09等差数列的实际应用
【典例1】（2023春·陕西西安·高二统考期中）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表：
年份 2014 2015 2016 2017
噪声/dB 57.8 57.2 56.6 56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？
【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：
年份 2015 2016 2017 2018
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过？
题型10等差数列在传统文化中的应用问题
【典例1】（2023春·陕西安康·高二统考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．56 B．57 C．58 D．59
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【变式1】（多选）（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱 ”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）等差数列中，，公差，则是数列的第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
2．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）在等差数列中，若，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在数列中，，，则数列是（ ）
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为的等差数列 D．不是等差数列
4．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
5．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）在数列中，，，则（ ）
A．121 B．100 C．81 D．64
6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）在数列中，，，若，则等于（ ）
A．671 B．673 C．674 D．675
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
10．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是递增数列
C．是等差数列 D．是递增数列
三、填空题
11．（2023秋·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知为等差数列，，，则 ．
12．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列的首项，而，则 .
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度．

14．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列8，5，2，…．
(1)求该数列的第20项．
(2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
(3)该数列共有多少项位于区间内？
B能力提升
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式分别为，将各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列，则（ ）
A．14155 B．6073 C．4047 D．4045
2．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040 B．4043 C．4046 D．4049
3．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列满足（其中），则的最小值为（ ）.
A．6 B．16 C． D．2
4．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.
(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列的前n项和为，，且数列满足________．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
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