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5．1　从算式到方程
5．1.1　方程
第1课时　方程
方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展，教科书将本节内容安排在第一节，一方面是对小学学段已经学过的有关算术方法解题和简单方程的运用的进一步发展，另一方面考虑引入方程后，可以尽早渗透模型化的思想，使学生尽早接触利用方程解决实际问题的方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情景导入】
猜数游戏：请一位同学任意说出月历表中竖行或横行相邻三个数的和，教师说出是哪三个数．
你能说出其中的道理吗？老师是怎样做到的呢？要想发现其中的奥秘，还需要同老师一起来学习……
【说明与建议】　说明：通过猜数游戏引入新课，让学生感受数学来源于生活，最大限度地激发学生的学习兴趣，同时给出方程的概念，为学习一元一次方程的概念做好铺垫．建议：可让多个学生举例，教师逐一说出学生所指的三个数，然后引导学生设出中间的数为x，得到三个数的和与中间数的关系，通过解简易方程就可得到结果，教师根据情况加以补充，然后让学生举出更多列方程的例子，教师顺势引入新课．
【置疑导入】
丢番图是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道的很少，但有一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一，他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛，五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉，悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗？大家讨论一下．
我们小学也学过方程，利用所学的知识可以设他的年龄为x岁，列方程为：
x＋x＋x＋5＋x＋4＝x.
你对方程有什么认识？列方程解决实际问题的关键是什么？
【说明与建议】　说明：从一古代数学趣味题入手，有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们的求知欲望．建议：教师引导学生认真设题，理解题意，提示学生用小学所学方程来试一试，可小组讨论，互帮互学，共同解决，而后导入新课．
命题角度1　方程的概念
1．下列各式：①x＝0；②2x>3；③x2＋3x－1＝0；④＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0，其中是方程的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
命题角度2　根据实际问题列方程
2．某班40位同学，在绿色种植活动中共种树101棵，已知女生每人种2棵，男生每人种3棵，设女生有x人，则可列方程(B)
A．2x＋3(101－x)＝40 B．2x＋3(40－x)＝101
C．3x＋2(101－x)＝40 D．3x＋2(40－x)＝101
3．如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左、右两侧及后方种植宽度均为3 m的草坪．若草坪总面积为90 m2，设雕塑的底面边长为x m，则可列方程为(B)
A．2×3x＋3(x＋3)＝90
B．2×3(x＋3)＋3x＝90
C．3×3(x＋3)＝90
D．3×＝90
4．李红用40 cm长的铁丝围成一个长方形，要使长方形的长比宽多4 cm.设宽为x cm，则可列方程为2(x＋4＋x)＝40．
笛卡儿是法国数学家、哲学家、物理学家和生理学家.1637年，笛卡儿在《几何学》中第一个提倡用字母中开头几个字母a，b，c等表示已知数，而用末尾x，y，z几个字母等表示未知数．而我国古代则用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数，而且要比西方早1 000多年，这说明我们中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．由于《几何学》影响巨大，后来人们面对一个未知量时大多都喜欢用x表示，多时为了区别也用其它符号表示，这只是个习惯问题，并不是固定不变的．
课题 5.1.1　第1课时　方程 授课人
素养目标 1.通过对实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解方程的概念，领悟方程的意义和作用． 2．在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力． 3．使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想． 4．让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想．体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学习数学的热情.
教学重点 利用问题中的等量关系列方程.
教学难点 找出实际问题中的相等关系.
授课类型 新授课 课时
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　师：你知道什么叫方程吗？ 生：含有未知数的等式叫作方程． 师：你能举出一些方程的例子吗？ 由学生举例，教师总结． 练习：判断下列式子是不是方程，正确的打“√”，错误的打“×” (1)1＋2＝3；(2)x＋2＞1；(3)1＋2x＝4；(4)x＋y＝2；(5)x2－1； (6)x2＝x＋2；(7)x＋3＝5；(8)x＝8. 通过对小学中已经学过的知识的回忆，引起学生进一步学习方程的欲望，激发学生的学习热情.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 你会用算术法解决这个问题吗？列算式试试． 师生活动：教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习列方程方法的必要性．从而引入本课时的学习． 让学生感受这个问题用算术方法不容易解决，使学生认识到进一步学习列方程方法的必要性.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．方程的概念 针对【课堂引入】的问题，你能用列方程的方法解决问题吗？ 如果设两队行进的时间为x h，你能分别列式表示甲队和乙队的行进路程吗？ 甲队的行进路程为1.2x km，乙队的行进路程为0.8x km. 你能分别列式表示甲、乙两队距大本营的路程吗？ 甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为(1.2x＋1)km和(0.8x＋3)km. 想一想，甲队追上乙队时，如何用式子表示他们距大本营的路程之间的关系？ 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程， 因此1.2x＋1＝0.8x＋3. 我们再来看两个实际问题． 问题1：用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x－5)元． 你能列式子表示买大水杯的钱和买小水杯的钱之间的关系吗？ 因为用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，所以12x＝16(x－5)． 问题2：如图，这是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000 mm2，长和宽的比为8∶5(即宽是长的)，求这枚纪念币的长和宽． 如果设这枚纪念币的长为x mm，那么你能列式子表示这枚纪念币的宽吗？ 因为宽是长的，所以这枚纪念币宽为x mm. 你能列等式表示该纪念币的面积与x之间的关系吗？ 因为其面积是4 000 mm2，所以x·x＝4 000，即x2＝4 000. 师生活动：通过上面的情境，教师引导学生总结出方程的概念． 归纳：含有未知数的等式叫方程．它有两个要素，一是含有未知数，二是等式． 方程与等式的区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程． 通过设置丰富的问题情境，学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望，为新课的学习做好铺垫．学生通过对所列方程的分析得出方程的定义，可加深学生对方程概念的理解，同时还可以锻炼学生思维的主动性.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　2.根据实际问题列方程 时代中学师生100人到甲、乙两公司参加社会实践活动，到甲公司的人数比到乙公司的人数的2倍少8人，设到乙公司参加社会实践活动的有x人，可列方程为(2x－8)＋x＝100． 师生活动：通过例题的学习，让学生再次熟悉列方程时的设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程．学生针对上面的问题做进一步思考、归纳，教师帮助学生规范语言，并归纳根据实际问题列方程的步骤． 归纳：根据实际问题列方程的步骤：先设字母表示未知数(通常用x，y，z等字母表示未知数，在实际问题中，设未知数有两种方法，一种是直接设即问什么设什么，另一种是间接设)．再根据问题中的相等关系写出含有未知数的等式，便得到方程.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　下列式子不是方程的是(C) A．2x＝1 B．2x＋3y＝0 C．5x＋7 D．3(2x－2)＝12 例2　(教材第113页例1)根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长． 解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1－0.52)x.列得方程0.52x－(1－0.52)x＝80. (2)设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x2＋5x)m.列得方程x2＋5x＝500. 师生活动：教师巡视，对有困难的学生加以点拨指导，对学生交流及反馈情况加以总结，并引导学生得出结论． 【变式训练】 1．已知式子：①3－4＝－1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0，其中是等式的有①③④⑤，是方程的有③④⑤．(填序号) 2．根据题意列出方程： (1)《文摘报》每份0.5元，《信息报》每份0.4元，小刚用7元钱买了两种报纸共15份，他买的两种报纸各多少份？ (2)水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人每张10元，学生可享受六折优惠．这一天出售的成人票与学生票各多少张？ (3)如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．则小圆形场地的半径为多少？ 解：(1)设买《文摘报》x份，则买《信息报》(15－x)份，根据题意列方程，得 0．5x＋0.4(15－x)＝7. (2)设出售成人票x张，则出售学生票(128－x)张，根据题意列方程，得 10x＋60%×10×(128－x)＝912. (3)设小圆的半径为x m，则大圆的半径为(x＋5)m，根据题意列方程，得π(x＋5)2＝2πx2. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 举一反三，灵活掌握，熟练解题．通过举例，让学生进一步体会概念，并能利用概念解决问题.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在2＋1＝3，4＋x＝1，y2－2y＝3x，x2－2x＋1中，方程有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．“一个数比它的相反数大－4”，若设这个数是x，则可列出关于x的方程为(B) A．x＝－x＋4 B．x＝－x＋(－4) C．x＝－x－(－4) D．x－(－x)＝4 3．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，则标价为多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x－20＝0.6x＋10.小明同学列此方程的依据是(C) A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 4．某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有15名工人，乙施工队有25名工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是(B) A．3(15＋x)＝25－x B．15＋x＝3(25－x) C．3(15－x)＝25＋x D．15－x＝3(25＋x) 5．小丁今年5岁，妈妈今年30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，则x年后小丁的年龄为(x＋5)岁，妈妈的年龄为(x＋30)岁．根据题意列出方程为2(x＋5)＝x＋30． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对学生本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课学习了哪些主要内容？从实际问题中列出方程的步骤是什么？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第113页练习第1，2，3题；第118页习题5.1第1，5，6题． 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 5.1.1　方程 第1课时　方程 1．方程的概念 两个要素：一是含有未知数，二是等式． 2．根据实际问题列方程 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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