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5.3　实际问题与一元一次方程
第1课时　产品配套问题与工程问题
本节课是在学习了解一元一次方程的基础上，进一步探究如何找出实际问题中的相等关系，学习如何用一元一次方程解决实际问题，是实际问题与一元一次方程的第一课时，示范性强，同时也为下节课探究问题做铺垫，在本章中起着承上启下的作用．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情景导入】
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用．生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家还能举出一些生活中配套问题的例子吗？
【说明与建议】　说明：通过这一情景的导入，帮助学生认识到配套问题无处不在，以及学会解决这样的问题的重要性．建议：让学生举出日常生活中配套问题的实例，并讨论它们是如何配套的．
【复习导入】
回答下列问题：
(1)列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？
(2)列方程解应用题的关键是什么？
【说明与建议】　说明：经过前两节课的学习，学生对列一元一次方程解决实际问题的步骤和方法有了基本了解并积累了一定的经验和方法，经过回顾为本课的学习做好铺垫．出示教学目标，明确本课学习的列一元一次方程解应用题的方法技巧，调动学生的学习热情．建议：小组内同学互相检查，特别注意每步的注意事项．
命题角度1　配套问题
1．一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5 m3木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x m3木料做桌面，那么用(5－x)m3木料做桌腿．根据题意，得
4×50x＝300(5－x)，解得x＝3.
所以5－x＝2，50x＝150.
答：用3 m3木料做桌面，用2 m3木料做桌腿，恰好配成方桌150张．
命题角度2　工程问题
2．维修一段管道，师傅单独维修需4小时完成，徒弟单独维修需6小时完成．如果徒弟先修30分钟，再与师傅一块维修，还需多少时间完成？
解：设还需x小时才能完成．根据题意，得
×＋＋＝1，解得x＝2.2.
答：还需要2.2小时完成．
列一元一次方程解奇妙古诗趣题
古代的劳动人民创造了许多形式新颖独特、朗朗上口、容易记牢、饶有兴趣的数学诗，下面列举几道能用一元一次方程求解的数学诗供同学们赏析．
1．房客
我问开店李三公，多少客人在店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．
请你仔细算一算，多少房间多少客？
题意：我问开店的李三公，有多少客人来住店？李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没房住；若每一个房间住满9人，则又空出一个房间．”求多少客房、多少客人？
解：设有x间客房，根据题意，得
7x＋7＝9(x－1)，解得x＝8.
则客人为7×8＋7＝63(人)．
2．羊群问题
本题选自明代数学家程大位编著的《算法统宗》．
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后．
戏问甲及一百否，甲云所说无差谬．
若得这般一群凑，再添半群小半群．
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
赏析：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方，有一个过路人牵着一只羊从后面追了上来，他对牧羊人说：“你的羊有100只吗？”牧羊人说：“我的羊现在不是100只．假如我现在的羊，加上和我现有的羊数相等的一群羊，再加上现有的羊数一半，然后再加上现有的羊数一半的一半(即)，另外，再加上你那只羊那就恰巧是100只．”请你算一算，牧羊人放牧的这群羊一共有多少只？
解：设牧羊人放牧的这群羊一共有x只，由题意，得
x＋x＋x＋x＋1＝100，解得x＝36.
答：牧羊人放牧的这群羊一共有36只．
课题 5.3　第1课时　产品配套问题与工程问题 授课人
素养目标 1.掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的等量关系列出方程，掌握配套问题，培养分析问题、解决问题的能力． 2．经历分析配套问题中的数量关系，列出方程，并依据乘法的分配律去括号，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
教学重点 根据配套问题、工程问题中各量的数量关系，找出相等关系.
教学难点 根据等量关系列出正确的一元一次方程.
授课类型 新授课 课时
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 解方程： (1)6(x－3)＝－2(x－4)＋1； (2)－2(10－0.5y)＝4(1.5y＋2)； (3)－＝1； (4)x－＝－. 学生独立完成，然后同学间交流． 通过练习，起到复习旧知识的作用，同时检验上一节课的学习效果，为本节课进一步学习起到一个基石的作用.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 1．配套物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据． 2．做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，问： ①甲做1小时完成全部工作量的几分之几？____________. ②乙做1小时完成全部工作量的几分之几？____________. ③甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？____________. ④甲做x小时完成全部工作量的几分之几？____________. ⑤甲、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？____________. ⑥甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？____________；乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？____________；甲、乙再合做x小时完成全部工作量的几分之几？____________；三次共完成全部工作量的几分之几？____________；结果完成了工作，则可列出方程：____________. 工作量＝工作效率×工作时间(常常把总工作量看作1)． 3．之前我们通过列方程解应用问题的过程中，大致包含哪些步骤？ ①设：设题，分析题目中的数量关系； ②设：设适当的未知数，并表示未知量； ③列：根据题目中的数量关系列方程； ④解：解这个方程； ⑤答：检验并作答． 学生在小组内独立完成，并形成统一的答案.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．配套问题 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 师生活动：学生设题，教师提问：(1)“1个螺钉需要配2个螺母”这句话是什么意思，包含着什么等量关系？(2)本问题中有哪些等量关系？ 教师多媒体展示表格，引导学生填写表格．
产品类型生产人数单人产量总产量螺钉x1 200螺母2 000
　　教师对学生回答的方向适当给予提示，如先寻求生产螺母的人数如何用含x的式子表示，再去寻求每人每天能生产多少个螺钉，多少个螺母.
教师提问，通过填写表格，你对题目中的螺钉和螺母的数量关系有什么认识？
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　学生思考回答，根据学生的回答，教师适当加以引导，利用“1个螺钉需要配2个螺母”的条件，得出每天螺钉生产数量和螺母生产数量之间的关系，从而列出方程：2×1 200x＝2 000(22－x)． 注意：教师要关注学生在寻求相等关系时是否准确，是否出现螺钉数量是螺母数量的两倍或直接认为螺钉数量等于螺母数量等配套错误的现象． 学生解方程，教师巡视，注意收集错例进行展示，由学生分析错误原因，师生共同梳理，规范解方程过程． 解：设应安排x名工人生产螺钉，则(22－x)名工人生产螺母． 依题意，得2 000(22－x)＝2×1 200x. 解方程，得5(22－x)＝6x， 110－5x＝6x， x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母． 2．工程问题 整理一批图书，由一个人做要40 h完成，现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 师生活动：学生先自主探究讨论，教师可以点拨以下问题． (1)人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为____________． (2)设先安排x人，则先做4小时完成的工作量为____________．再增加2人和前一部分人一起做8小时，完成的工作量为____________． (3)这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为____________． (4)完成下面表格：
项目人均效率人数时间工作量前一部分工作x4后一部分工作8
　　学生讨论交流，分小组展示成果，比比谁快、准．教师适当加以引导，利用人均效率、工作人数、工作时间和工作量之间的关系列出方程.
注意：教师要关注学生在确定两阶段工作量关系时是否准确，同时收集错例展示，并关注去分母解方程的过程是否正确.
解：设安排x人先做4 h．根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程＋＝1.
解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应安排2人先做4 h． 通过提问和学生回答，了解学生对问题中信息的理解能力，引导学生对问题中的信息通过表格做初步梳理和简单加工；通过对表格填空，检验学生是否能够理解问题中信息的含义，并渗透如何寻求相等关系．学生通过对表格信息的探究，参考其他同学对问题中数量关系的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定建立模型的研究方式，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？ 解：设安排x名工人加工大齿轮．由题意，得 ×20x＝15(90－x)．解得x＝30. 则90－x＝60. 故需要安排30人加工大齿轮，60人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 60×15÷3＝300(套)． 答：一天最多可以生产300套这样成套的产品． 例2　一条地下管线，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要24天，先由乙工程队铺设3天，剩下的甲、乙合作完成．还需多少天铺设完这条管道？ 解：设还需x天铺设完这条管道．由题意，得 ＋＝1，解得x＝7. 答：还需7天铺设完这条管道． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 【变式训练】 1．螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 解：设安排x人去加工生产汤料包，则安排(80－x)人生产配料包．依题意，得 4×110x＝200(80－x)，解得x＝25. 答：安排25名工人去加工汤料包． 2．一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管10分钟可以注满水池，单独开放乙管15分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？ 解：设甲管一共注水x分钟．由题意，得 －×＝1，解得x＝15. 答：甲管一共注水15分钟． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 在完成了对例题的探究和一般解题过程的归纳后，通过练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化，进一步熟悉利用建模思想解决实际问题的方法和过程，从而提高分析和解决问题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.机械厂加工车间有27名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排(27－x)名工人加工小齿轮．依题意，得 12×(27－x)×2＝10x×3，解得x＝12. 则27－x＝15. 答：安排12名工人加工大齿轮，安排15名工人加工小齿轮． 2．由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第一部需用24小时，第二部需用30小时，第三部需用40小时．现在第一部、第二部共同抽8小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽尽？ 解：设从开始到结束共抽水x小时．由题意，得 (＋)x＋(x－8)＝1，解得x＝12. 答：从开始到结束共抽水12小时．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业：教材第134页练习第1，2，3题；第140页习题5.3第2，3，4，5题． 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 5.3　实际问题与一元一次方程 第1课时　产品配套问题与工程问题 列方程解应用问题的一般步骤： 设→设→列→解→答 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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