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6.2.2　线段的比较与运算
本节课是在学生学习了线段、射线和直线的数学概念后，进一步认识线段的特性，即通过“叠合法”“度量法”对线段进行长短的比较，“尺规法”画线段等于已知线段或画已知线段的和、差、倍等，从运动变化的角度，用数形结合的观点加深对线段的认识，同时也是进一步学习平面几何的基础性知识，此外，教材通过“思考”引出“两点之间，线段最短”的性质．在今后的几何学习中，“叠合法”“度量法”还有较多的应用，所以它在教材中处于非常重要的位置，不仅在知识上具有承上启下的作用，而且为今后进行几何的计算和作图提供了方法和依据．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情景导入】
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们可以用什么方法进行比较呢？
【说明与建议】　说明：利用木棍，把现实生活中的问题转化为数学中的探索问题，激发学生的学习兴趣，在具体问题中设问，在解答问题中形成认知冲突，激发学生解决问题的热情．建议：重点让学生明白正确比较两条线段长短的重要性，为本节课的学习做好铺垫．
【悬念激趣】
1．如图，草坪上被踩出了一条小路，在这里，从A地到B地，人们为什么不走马路而走踩出来的小路？
2．怎样走最近？
如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
通过上述的两个问题，结合我们前面学过的图形(直线、射线和线段)，你能得出什么结论？
【说明与建议】　说明：利用生活中可以感知的情境，激发学生的学习兴趣，使学生感受生活中所蕴含的数学道理，让学生由实际问题感受从一点到另外一点如何走路程最短．建议：引导学生结合实际生活理解两点之间的距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作两点间的距离．
命题角度1　用尺规作一条线段等于已知线段
1．已知线段a，b，作线段AB＝a＋b(要求：保留作图痕迹)．
解：如图：
①作线段AC＝a；
②在线段AC的延长线上作BC＝b.
线段AB就是所求的线段．
命题角度2　线段的长度比较及和差
2．如图所示，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是(B)
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
3．已知线段AC＝1，BC＝3，则线段AB的长是(D)
A．4 B．2 C．2或4 D．无法确定
命题角度3　利用“两点之间，线段最短”解决问题
4．小光准备从A地去往B地，打开导航，显示两地距离为37.7千米，但导航提供的三条可选路线长却分别为45千米、50千米、51千米(如图)．能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
命题角度4　线段的中点及等分点
5．线段AB＝12 cm，点C在AB上，且AC＝BC，M为BC的中点，则AM的长为(C)
A．4.5 cm B．6.5 cm C．7.5 cm D．8 cm
课题 6.2.2　线段的比较与运算 授课人
素养目标 1.使学生掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短． 2．使学生充分理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化． 3．借助具体情境，了解“两点之间，线段最短”的性质． 4．利用丰富的活动情景，通过让学生体验到两点之间线段最短的性质的过程，感受数学与生活的联系． 5．线段中点的性质及其简单运用.
教学重点 掌握比较线段长短的正确方法，线段中点的概念及写成a×10n的形式 .
教学难点 线段的中点、三等分点、四等分点的写成a×10n的形式 及运用.
授课类型 新授课 课时
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.经过两点有____________条直线，并且只有____________条直线．简单说成________________________． 2．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线____________， 这个公共点叫作它们的____________． 3．可以用一条直线上的____________点或一个小写字母来表示这条直线． 可以用一条线段的两个____________点或一个小写字母来表示这条线段． 可以用一条射线的____________点和射线经过的一点或一个小写字母来表示这条射线． 回顾旧知，引出新知.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？ 从生活实际出发，提出问题，激发学生的兴趣.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 问题1：(1)上节课我们学习了直线、射线和线段，下面请同学们在练习本上任意画一条线段，并把它表示出来；(2)你还能再作出一条与它同样大小的线段来吗？想一想，然后说一说你的想法． 追问：如果学生只回答出“度量法”，教师引导提问如果没有带刻度的尺子怎么办？ 师生活动：教师提出问题，学生思考并用自己的语言描述自己的想法．组织学生适当讨论，并引导学生尝试用圆规来作图．最后教师对两种方法做适当的总结归纳，并板演尺规作法． 问题2：黑板上有两条线段，你能判断它们的长短吗？有什么方法来验证你的判断？ 追问：学生容易想到度量法；这时教师可再追问：如果没有刻度尺又该怎么办呢？ 师生活动：教师提出问题，学生首先通过直观观察作出判断，然后独立思考验证方法．组织学生小组讨论，教师巡视指导并启发学生从“问题1”和“比身高”中获得思路；在小组内达成一致后，请小组代表边阐述边演示本组的做法，其他同学补充完善．最后由教师板演示范． 还记得刚开始讨论的对比两位同学身高的方法吗？ 1.作一条线段等于已知线段是几何的基本作图，也是本课后续知识学习的基础，要让学生准确掌握；向学生渗透几何研究中有“数”与“形”两种不同的方法． 2．让学生在自主探索中掌握比较线段大小的方法.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　比较两个同学高矮的方法： ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较——度量法． ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮——叠合法． 问题3：如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段之间的和、差关系吗？ 师生活动：学生观察并回答，教师点评并板书示范线段和、差的记法． 问题4：(1)如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？ 追问：反思以上作图过程，总结一下作图方法． 师生活动：教师提出问题，学生自己动手尝试作图；如遇困难教师可提示学生从“问题3”中寻找思路，并展开适当讨论；选学生代表阐述作图方法，教师结合学生的阐述，边矫正边板演示范． 问题5：(1)如图，已知线段a，求作线段AB，使AB＝2a. 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点，其中的数量关系可表示为：AM＝BM＝AB. 追问1：类似地，线段还有三等分点、四等分点……，你认为该怎样描述三等分点和四等分点的概念？它们又包含了怎样的数量关系？ 追问2：怎样用折叠法得到线段的中点、四等分点？画一条线段，然后折折看． 师生活动：学生分析题意后独立完成作图，教师巡视指导，教师总结归纳． 3.由大小关系递进到和差关系，引导学生由形到数来认识图形；明确用符号表示线段和、差的方法，学习几何语言；为后面的线段和、差作图做铺垫． 4．让学生掌握线段和、差的作图方法；将用图形表示和差与用符号表示和差结合起来． 5．层层递进的对等分点进行学习，既让学生掌握等分点的概念，更让学生理解等分点是怎样产生的，掌握由等分点产生的数量关系.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点． (1)若AB＝10，AC＝6，求CD的长； (2)若AC＝30，BD＝10，求AB的长． 解：(1)因为点D是线段BC的中点，所以CD＝BC. 因为AB＝10，AC＝6， 所以BC＝AB－AC＝10－6＝4. 所以CD＝BC＝2. (2)因为点D是线段BC的中点， 所以BC＝2BD. 因为BD＝10， 所以BC＝2×10＝20. 因为AB＝AC＋BC， 所以AB＝30＋20＝50. 通过例题讲解及变式训练，加深对本课时知识的理解.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由． 解：如图所示，连接AB. 理由：两点的所有连线中，线段最短． 【变式训练】 1．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度． 解：因为AB＝4 cm，BC＝3 cm， 所以AC＝AB＋BC＝7 cm. 因为点O是线段AC的中点， 所以OC＝AC＝3.5 cm. 所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm)． 2．如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P的位置，使它与4个村庄的距离之和最小． 解：连接AC，BD的交点即为P点的位置，如图． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(D) A．连接两点的线段就叫作两点间的距离 B．在所有连接两点的线中直线一定最短 C．线段AB就是表示点A到点B的距离 D．线段AB的长度是点A到点B的距离 2．如图，下列关系式中与图不符合的式子是(C) A．AD－CD＝AB＋BC B．AC－BC＝AD－BD C．AC－BC＝AC＋BD D．AD－AC＝BD－BC 3．为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合，使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(B) A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是(D) A．因为③是直的 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的定义 D．两点之间，线段最短 5．已知线段AB＝6，若C为AB的中点，则AC＝3． 6．若线段AB＝5 cm，BC＝2 cm，且A，B，C三点在同一条直线上，则点C可能在AB上，也可能在AB的延长线上，则AC的长等于3__cm或7__cm． 7．如图，已知线段a和b，且a＞b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a＋b. 解：图略． 8．已知，如图，AB＝16 cm，C是AB上一点，且AC＝10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长． 解：因为D是AC的中点，AC＝10 cm， 所以DC＝AC＝5 cm. 又因为AB＝16 cm，所以BC＝AB－AC＝6 cm. 因为E是BC的中点，所以CE＝BC＝3 cm. 所以DE＝DC＋CE＝8 cm. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑． 2．布置作业：教材第167～168页习题4.2第5，6，7，8题． 复盘本节课内容，加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 6.2.2　线段的比较与运算 比较线段长短：目测法、度量法和叠合法 作线段等于已知线段 作线段的和与差 线段的中点 两点之间，线段最短． 两点间的距离：连接两点间的线段的长度． 在实际中的应用：选址问题． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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