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2.3　有理数的乘方
2．3.1　乘方
第1课时　乘方
乘方是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用．通过这一课的学习，对培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力以及转化的数学思想起到十分重要的作用．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情景导入】
同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？
做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录．
次数 1 2 3 4 5 6 … 10 …
面条根数 2 4 8 16 32 64 … 1 024 …
　　【说明与建议】　说明：通过生活中“拉面问题”的实例，将实际问题抽象为数学问题的过程，感受数学知识与生活的联系，激发学生的学习兴趣．建议：先让学生根据示意图口答捏合后的面条根数，然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数，最后让一名学生汇报实验结果．猜想如果捏合10次、100次、n次呢？
【类比导入】
我们学数学就为了能成为一名化繁为简的高手．
问题1：比如3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×(　　)，利用乘法将这么长的加法算式变简单．
问题2：我们在小学学过边长为a的正方形的面积是a·a＝a2，棱长为a的正方体的体积是a·a·a＝a3，类似的式子有简单的记法吗？
【说明与建议】　说明：通过类比导入的方式，一是让学生能在数学的发展关联上有所启迪，让学生认识到在数学中许多的概念、定理和公式都产生或发展于原有知识，初步培养学生发展数学的意识；二是使得知识的学习在迁移中便于让学生接受．建议：让学生在轻松的氛围中自主交流2分钟左右，对学生的每个回答给予积极的评价．
命题角度1　有理数乘方的意义
1．(－7)6的意义是(C)
A．－7×6 B．6个－7相加 C．6个－7相乘 D．7个－6相乘
2．计算：＝(B)
A. B. C. D.
3．把式子××××写成乘方的形式为()5．
命题角度2　有理数的乘方运算
4．－23的结果是(A)
A．－8 B．－6 C．6 D．8
5．下列式子①－(－3)；②－|－3|；③－(－3)2；④－(－2)3中，运算结果为负数的是(B)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解读“有理数乘方”
“乘方”是继有理数的加、减、乘、除运算之后又一种新的运算，在有理数一章中占着很重要的地位，为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面从几个方面进行归纳叙述，供同学们参考．
一、正确理解乘方的含义
求n个相同乘数a的积的运算叫作乘方，其结果叫作幂．因此乘方有双重含义，首先它表示一种运算，一种特殊的运算(即乘数相同的乘法运算)，如an表示的运算，读作a的n次方；其次它表示一种运算的结果，如an是n个a相乘的结果，读作a的n次幂．所以在理解乘方概念时，应知道它不仅表示一种运算，而且还表示运算的结果．
二、正确理解幂
上面我们谈到乘方表示一种运算的结果，不少同学就认为只有把乘方写成an的形式才叫作幂，这种观点是错误的．实际上，对于具体数的乘方，特别是结果不太大的数，其结果可以写成幂的形式，也可以用具体的数表示．如3×3×3＝33＝27，这里的33和27都是幂
，它们之间没有什么不同．当然，对于用字母表示的数的乘方结果只能写成幂的形式．
三、注意分清底数及其写法
(－a)n的底数是－a，而－an的底数是a，前者表示n个(－a)相乘，后者表示n个a相乘的结果再取相反数，因此，不能把(－a)n与－an混为一谈，虽然有时它们的结果可能相同，如(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8，－23＝－(2×2×2)＝－8，但它们的具体含义却不一样．当底数是负数或分数时，我们在书写中一定要把底数加上括号，然后再在括号的右上角写上指数，以体现底数的整体性，否则就会出现把－2的3次方写成－23，的平方写成的错误，同学们在初学时一定要注意这一点．
课题 2.3.1　第1课时　乘方 授课人
素养目标 1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义． 2．会利用计算器进行乘方运算． 3．已知一个数，会求出它的正整数指数幂，渗透转化思想． 4．用数学的眼光思考问题、解决问题，切实提高学生的运算能力.
教学重点 幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.
教学难点 准确建立底数、指数和幂三个概念，并能求幂的运算.
授课类型 新授课 课时
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 棋盘上的数学 古希腊伟大数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一个格子中放进一颗麦子，在第二个格子中放进两颗麦子，在第三个格子中放进四颗麦子……每一个格子中麦子数量都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他，也不够百分之一．即使一粒麦子只有一克重，也需要数十万亿吨的麦子才够．你们知道这是为什么吗？ 带着这个问题，我们进入本课“有理数乘方”的学习． 新课开始，巧妙地设置问题，使学生产生悬念，以引发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习积极性，让学生知道数学无处不在，激发学生解决问题的强烈欲望.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 把一张纸进行如下操作： (1)对折2次可裁成4张，即2×2张； (2)对折3次可裁成8张，即2×2×2张； 问题：(3)若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示(不用算出结果)； 解：对折10次裁成的张数可以表示为2×2×2×2×2×2×2×2×2×2，是一个由10个2相乘的乘积式． (4)若对折100次，式子中有多少个2相乘？ 解：对折100次裁成的张数可以表示为2×2×…×2 \s\do4(100个))，在这个式子中有100个2相乘． 思考：这么长的算式有简单的记法吗？ 为了简便，我们把2×2记作22，读作“2的平方”(或“2的二次方”)； 把2×2×2记作23，读作“2的立方”(或“2的三次方”)； 把2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记作210； 把2×2×…×2 \s\do4(100个))记作2100. 同样地，(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作(－2)4，读作“－2的四次方”； (－)×(－)×(－)×(－)×(－)记作(－)5，读作“－的五次方”． 思考：(1)(－2)4与－24一样吗？为什么？ 答：不一样，(－2)4表示－2的四次方，－24表示2的4次方的相反数． (2)(－)5与－一样吗？为什么？ 答：不一样，(－)5表示－的五次方，－表示2的五次方再乘－. 一般地，n个相同的乘数a相乘，即a·a·a·…·a \s\do4(n个))，记作an，读作“a的n次方”． 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，幂 叫作幂． 在an中，a叫作底数，n叫作指数． 当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”． 让学生感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，主动尝试从数学的角度运用所学知识解决问题，并在解决问题的过程中体验到乘方运算的必要性和优越性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 例如：在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”． 注意：一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51.指数1通常省略不写． 师生活动：学生由具体的数据推导出乘方的定义，老师给予适时指导，让学生能分清底数、指数、幂之间的联系和区别．先由学生讨论，然后由小组代表发表自己的观点.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第51页例1)计算： (1)(－4)3；(2)(－2)4；(3)(－)3. 解：(1)(－4)3＝(－4)×(－4)×(－4)＝－64. (2)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16. (3)(－)3＝(－)×(－)×(－)＝－. 思考：从例题中，你发现负数的幂的正负有什么规律？ 当指数是奇数时，负数的幂是负数； 当指数是偶数时，负数的幂是正数． 思考：如果幂的底数是正数，那么这个幂有可能是负数吗？ 不可能，正数的任何次幂都是正数． 归纳：根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数； 0的任何正整数次幂都是0. 【变式训练】 1．(－3)4表示(B) A．－3个4相乘 B．4个－3相乘 C．3个4相乘 D．4个3相乘 2．(－1)2 024的值是(B) A．－1 B．1 C．2 024 D．－2 024 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 1.通过例题的学习，对有理数的乘方有更进一步的理解． 2．把问题再次交给学生，充分发挥学生的主观能动性，鼓励学生尽可能地发现规律.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若一个数的平方等于它本身，则这个数是(D) A．0 B．1 C．－1，1 D．0，1 2．下列各组数中，互为相反数的有(B) ①－(－2)和－|－2|；②(－1)2和－12；③23和32；④(－2)3和－23. A．④ B．①② C．①②③ D．①②④ 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.计算： (1)(－)2；　(2)－(－6)3； (3)－；　(4)(－3)2×(－2)3. 解：(1)(－)2＝(－)×(－)＝. (2)－(－6)3＝－(－6)×(－6)×(－6)＝216. (3)－＝－＝－. (4)(－3)2×(－2)3＝9×(－8)＝－72. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课学到了什么？ 有理数的乘方 求几个相同乘数的积的运算 →求几个相同乘数的积的运算 幂 →幂 化为乘法 →化为乘法 乘方运算的符号法则?? (2)你还有什么疑惑？ 2．布置作业：教材第56页习题2.3第1题． 通过课堂小结的形式，学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.
板书设计 2.3.1　乘方 第1课时　乘方 1．有理数乘方的意义 2．an：a叫作底数，n叫作指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂” 3．有理数的乘方运算 提纲挈领，重点突出.
教学反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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