资源简介

第 12 章 平面图形的认识
12.2多边形
第1课时
《多边形》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第二节的内容.本节课的学习内容为掌握多边形的概念和内角和，并能够综合运用所学知识解决实际问题.理解多边形的要素和多边形的内角和并学习了线段、角等基本几何图形，对图形的概念、性质有了一定的了解后进行的，为后续学习几何知识奠定基础. 教材编排遵循从特殊到一般、由浅入深的规律，借助实例引导学生自主推导法则，同时结合实际问题，强化知识应用，提升学生解决问题的能力.
1.学生能从生活中所见的事物里找到多边形.
2.在对多边形的探究过程中，抽象出多边形的概念，掌握多边形的要素.
3.推导多边形内角和，经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
4.经历探索单项式除以单项式法的则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力.
重点：在对多边形的探究过程中，抽象出多边形的概念，掌握多边形的要素.
难点：推导多边形内角和，经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
复习回顾
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
2.三角形三要素：顶点、边、角.
3.三角形的内角和：180°.
师生活动：教师投影展示回顾内容．
设计意图：复习三角形的定义、三角形三要素、三角形的内角和，为本节课的探究过程做好准备.
情境导入
思考：在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的平面图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗
中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼-----五角大楼
探究新知
活动一：认识多边形
思考：你能找到哪些多边形 这些多边形有什么共同特点
多边形的定义：同一平面内,若干条线段首尾顺次相接,且有公共端点的线段不在同一条直线上,这样得到的图形叫作多边形.
思考：多边形的要素主要包括什么？
多边形的要素：组成多边形的各条线段叫作多边形的边,相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点,相邻两条边所组成的角叫作多边形的内角.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
思考：观察下图，这些多边形有什么不同？
由四条边组成的多边形叫作四边形,由五条边组成的多边形叫作五边形,……由n条边组成的多边形叫作n边形(n是大于2的整数).
思考：怎样表示多边形？
一般地,用四边形的顶点A,B,C,D表示四边形,记作四边形ABCD，同样，可以用五边形的顶点A,B,C,D,E表示五边形，记作五边形ABCDE，以此类推.
思考：观察下图中多边行的边的长度，它们有什么共同点？
以上多边形的边数虽然不同，每个多边形的各边相等、各角也相等.
正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形.图中的各个正多边形分别称作正三角形(即等边三角形)、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形和正八边形.
活动二：探究多边形的内角和
思考：三角形的内角和等于180°,四边形的内角和等于多少度呢 五边形、六边形……n边形的内角和等于多少度？
四边形分成2个三角形 五边形分成3个三角形 六边形分成4个三角形 n边形分成n-2个三角形
思考：n边形的内角和等于多少度？
我们发现，从n边形一个顶点出发的对角线可将n边形分成(n-2)个三角形,所以n边形的内角和等于(n-2)·180°.
师生活动：学生组内交流，合作解决，教师引导学生归纳法则.
设计意图：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神.
应用新知
例1：已知一个多边形的内角和等于2700°,求这个多边形的边数.
分析：根据n边形的内角和等于(n-2)·180°，计算即可.
解：
解:设这个多边形的边数为n,则
(n-2)·180°=2700°
解得n=17
所以这个多边形的边数为17.
注意： 熟练掌握n边形的内角和公式，其中n≥3的整数.
例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系
分析：根据内角和公式计算即可.
解: 如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
因为∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°
所以∠B+∠D=360° ∠A ∠C=180°
所以另一组对角也互补.
例3.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度 他求的是几边形的内角和
分析：首先由少加的一个内角度数大于0°且小于180°，找出该多边形的内角和满足的不等关系列出不等式,根据多边形的内角和为180°的倍数.进而求出这个多边形的边数，从而可求出这个内角的度数.多边形的内角和应用.
解: 设这个内角为x，则0°所以1125°<1125°+x<1125°+180°
所以180°×6+45°<1125°+x<180°×7+45°
因为1125°+x是多边形的内角和，它是180°的倍数，
所以1125°+x=180°×7=1260°，所以x=135°
所以（1260°÷180°）+2=9.
师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．加深学生对法则的记忆.
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情.
课堂练习
【教材练习】
1.如果从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成6个三角形，那么这个多边形是几边形 它的内角和是多少
解析：根据n边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成n-2个三角形，根据内角和公式计算即可.
解：这个多边形是八边形，它的内角和是：
(8 2)×180°=1080°.
分别计算九边形、十二边形的内角和
解：九边形的内角和是：
(9 2)×180°=1260°；
十二边形的内角和是：
(12 2)×180°=1800°.
3．如图，正方形 AMNP 的边 AM 在正五边形 ABCDE 的边AB 上，求∠PAE 的度数.
解：正五边形的每个内角是：
[(5 2)×180°]÷5=108°；
正方形 AMNP中∠PAM=90°,
∠PAE=∠BAE ∠PAM=108° 90°=18°.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解多边形的概念、要素，和内角和公式的应用.
课堂检测
1.判断：
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（ ）
（2）一个多边形的内角和不可能是810°.（ ）
（3）一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于 100°. （ ）
（4）一个多边形从一个顶点可以引三条对角线，这个多边形的内角和是720°. （ ）
2.一个多边形的各内角都等于120°,它是几边形
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得:
(n 2)×180°=120°×n；
解得n=6
答：这个多边形是正六边形.
3.已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1∶3，求它们的边数分别是多少
解：设它们的边数分别是x、y，由题意得:
(x 2)×180°+(y 2)×180°=1440°
x:y=1∶3
解得 x=3
y=9
答：它们的边数分别是多少3和9.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升.
设计意图：通过分层题型覆盖法则应用，结合典型题强化运算能力，提升学生熟练度，同时暴露易错点进行针对性指导.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2多边形的定义，要素？
3.n边形的内角和公式？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
动手推导一下多边形的内角和，和你的小伙伴们一起尝试用其他方法说明n边形的内角和等于(n-2)·180°.第 12 章 平面图形的认识
12.2多边形
第2课时
《多边形》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第二节的内容，本节课是第二课时.本节课的学习内容为掌握多边形的外角和，并能够综合运用所学知识解决实际问题.会把多边形问题转化成三角形问题，渗透转化思想，为后续学习几何知识奠定基础. 教材编排遵循从特殊到一般、由浅入深的规律，借助实例引导学生自主推导法则，同时结合实际问题，强化知识应用，提升学生解决问题的能力.
1. 能够准确理解多边形外角和内角的概念，通过观察、操作、猜想、验证等活动，经历多边形外角和定理的探究过程，培养自主探索、合作交流的能力，提升逻辑推理和数学思维能力.
2.熟练运用多边形外角和定理，解决与边数、角度相关的计算问题，学会运用已有的知识解决未知的问题，提高知识迁移和应用能力.
3.感受数学知识之间的内在联系和数学的严谨性，体会数学的应用价值和文化价值，培养对数学的学习兴趣.
重点： 理解并掌握多边形的外角和定理，并会运用解决问题.
难点：推导多边形外角和，经历各式各样的生活情境，体会几何与生活的紧密联系，培养学生空间想象和解决实际问题的能力.
复习回顾
1.多边形的定义：同一平面内,若干条线段首尾顺次相接,且有公共端点的线段不在同一条直线上,这样得到的图形叫作多边形.
2.多边形的内角和：n边形的内角和等于(n-2)·180°，n≥3的整数.
师生活动：教师投影展示回顾内容．
情境导入
思考：小刚住的小区有一个五边形的小道，小刚绕各顶点走了一圈并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度
问题1：小刚从一个跑道运动到下一个跑道时，转过的角是哪些角
师生活动：小刚从一个跑道运动到下一个跑道时，转过的角是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
问题2：小刚跑完一圈，转过的角度之和是多少
小刚想一圈是一个周角，应该是360°.他的想法对吗？你是怎样计算的
探究新知
活动一：探究多边形的外角和
思考：如图,任意画一个四边形ABCD,分别延长各边,得到∠1,∠2,∠3,∠4,它们有什么共同特？
一般地,多边形一个内角的邻补角叫作多边形的外角.在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角,这些外角的和叫作多边形的外角和.
思考：如图,四边形ABCD的外角和等于多少
思考：n边形的外角和是多少呢
分析: n边形的每一个内角与相邻的外角互为邻补角，n边形有n个内角,所以，所有内角与外角的和n·180°.已知n边形的内角和为(n-2)·180°.
因此n边形的外角和为：
n·180°-(n-2)·180°
=n·180°-n·180°+2×180°
=360°.
归纳：多边形的外角和等于360°.
师生活动：学生组内交流，合作解决，教师引导学生归纳法则.
设计意图：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神.
应用新知
例1：一个多边形的内角和是它的外角和的7倍,求这个多边形的边数.
分析：根据n边形的内角和公式与外角和360°，计算即可.
解：设多边形的边数为n,则
(n-2)·180°=7×360°
解得n=16
答：所以这个多边形的边数为16.
注意： 熟练运用n边形的内角和公式和外角和360°.
例2：一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形
分析：根据n边形的外角和是360°，计算即可.
解:设这个多边形的边数为n，
根据题意，得n·72°=360°
解得 n =5
因此，这个多边形是五边形.
注意：n边形有n个外角，外角和等于360°.
例3.已知一个多边形的每个内角与和它相邻的一个外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数.
分析：本题考查了多边形内角与外角的关系:多边形的一个内角与其相邻的外角互为补角，即它们的和为180°.进而求出这个多边形的每一个外角，再根据任意多边形的外角和都等于360°.进而求出这个多边形的边数.
解: 设这个多边形一个内角为7x，外角为2x
根据题意得7x+2x=180°
解得 x=20°
所以每一个外角是2x=40°
所以这个多边形的边数是360°÷40° =9
答:这个多边形的边数为9.
（法二）解: 设这个多边形的边数为n，根据题意得
解得 n=9
答:这个多边形的边数为9.
设计意图：通过多种解题方法的探究，拓宽学生的解题思路，激发学主动参与与课堂学习的热情.
课堂练习
【教材练习】
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形
解析：根据n边形内角和公式和外角和是360°，计算即可.
解析：根据n边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成n-2个三角形，根据内角和公式计算即可.
解：设这个多边形的边数为n由题意得
(n-2)·180°=360°×2
解得n=6
答:这个多边形是六边形.
2．求正八边形一个外角的度数
解：由多边形的外角和360°可得：
正八边形一个外角=360°÷8=45°
答：正八边形一个外角的度数是45°.
3.一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形
.解：设这个多边形的边数为n根据题意可得：
(n 2)×180°=360°
解得n=4
答：这个多边形是四边形.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解多边形的外角和公式的应用.
4.机器人从O点出发沿直线行走，每走10m，行走方向沿原方向顺时针转动15°.机器人以这样的方式走多少米可以回到O点
解：根据定义，可知机器人走的路线恰好围成正多边形.每次向顺时针转动15°，所以正多边形的每个外角都是15°.
正多边形的边数是：360°÷15°=24
正多边形的边长是10m
所以机器人走了 24×10=240m.
课堂检测
1.判断：
（1）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（ ）
（2）三角形的外角和与八边形的外角和相等.（ ）
（3）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是8. （ ）
（4）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和增加180°. （ ）
2.如图，求图中x的值.
解：由题意可得:
3x^o+90^o+90^o=360^o
解得x=60.
3.如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和.
解：设多边形的一个外角为x°，则一个内角为(x+36)°，依题意得x+x+36=180，
解得x=72.
故这个多边形的边数为360°÷72°=5，
内角和是(5-2)×180°=540°
答：这个多边形的边数是5，内角和540°.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2多边形的外角和是多少，怎么推导？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
和你的小伙伴们一起尝试用其他方法说明n边形的外角和等于360°.

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