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第十一章 因式分解
11.1因式分解
本节课是在学习了《整式的乘法与除法》基础上，对因式分解进行的学习探究，因式分解是整式乘法的逆向运算，是代数式的一种重要恒等变形，它与整式乘法运算有着密切的联系.通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备，同时学习因式分解对学生的逆向思维能力的培养起到一定的作用.因此本节课起到承上启下的作用，为后面学习因式分解的方法和八年级分式的学习作铺垫
1.了解因式分解意义，理解因式分解的概念，以及它与整式乘法的关系
2.能判断因式分解的正误，会进行简单的因式分解
3.经历从因数分解到因式分解的类比过程，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力
4.让学生体会类比、数形结合的数学思想
重点：理解因式分解的意义，准确辨析整式乘法与因式分解这两个变形
难点：对因式分解与整式乘法关系的理解
情境导入
思考：“+2×48”能被50整除吗
+2×48
=48×(48+2)
=48×50
所以+2×48能被50整除.
在这里，解决这个问题的关键是把算式化成几个因数的乘积形式.类似地,我们可以将多项式化成整式的乘积形式.
如何将多项式化成几个因式的乘积形式呢？一起来探究吧！
师生活动：教师引导学生积极思考.
设计意图：通过具体问题引入，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动一：探索因式分解的定义．
思考：仿照上面的算式,怎样将化成整式的乘积形式
a与a+2是的因式
思考：联想平方差公式,怎样将化成整式的乘积形式
x+2与x-2是的因式.
思考与交流：观察下面拼图过程，写出相应的关系式
左边几个图形的面积和为,
右边图形的面积为.
左边图形面积和=右边图形面积
设计意图：解决问题后进行观察、分析共同属性：问题解决的关键是把一个加减运算关系的算式化成了几个相乘关系的算式，从而体会化为“几个相乘关系的算式”的意义.
概述与表达：
因式分解：
把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解(factorization),也叫作把这个多项式分解因式.
活动二：探索整式乘法与因式分解的关系
计算下列式子.
(1)　　　　　　　　;
(2)　　　　　　　　;
(3)=　　　　　　　　;
根据上面的算式填空.
(1)　　　　　　　　;
(2)　　　　　　　　;
(3)　　　　　　　　.
思考：因式分解与整式的乘法有什么关系
答：整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形.
如：
师生活动：学生积极思考，合作交流，教师适当引导，得到因式分解的定义，并强调因式分解与整式的乘法的关系.
设计意图：让学生抓住概念的本质属性——凡是“分解因式”都是把整式从左边和差的关系变形为右边“积”的形式，凡不是“分解因式”的式子都不具有上述属性.
活动三：探索判断变形形式是否为因式分解的方法
思考：如何判断一个变形形式是否为因式分解呢
判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
师生活动：学生积极思考，合作交流，共同归纳总结判断变形形式是否为因式分解的方法.
设计意图：培养学生团队合作意识与归纳总结能力，为后续解题作出铺垫.
应用举例
例1 下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解 为什么
(1);
(2);
(3).
解：(1)因为右式是与的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解.
(2)因为右式不是整式的乘积形式,
所以这个变形不是因式分解.
(3)因为右式是的乘积形式,且左式=右式,所以这个变形是因式分解.
方法总结：
判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
师生活动：学生思考后独立完成例题．
设计意图：通过例1，让学生加深对因式分解定义的理解.
例2. 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里:
(1)2x+4=2( );
(2)x xy=x( );
(3)( );
(4)( ).
分析：对于这类题目，需要根据等式左边的式子以及已知右边式子的部分信息，通过对式子进行变形、因式分解等方法来找出括号内应填的因式.
解:(1)2x+4=2( x+2 );
(2)x xy=x(1 y );
(3)(4x 1);
(4)(a+3).
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：借助此题让学生进一步体会因式分解的含义，并初步领会因式分解的方法，为后续的学习做铺垫.
例3.若能分解成两个因式的乘积且有一个因式为，设另一个因式为，其中为常数，请你求出的值.
分析：本题考查因式分解的应用，根据题意列出方程组是解题的关键.
解：，
由题意可得，
所以， ，解得，
所以的值分别为.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：例题3与前两道题的思考方式不同，主要考查学生的逆向思维，培养学生分析问题解决问题的能力.
课堂练习
1.下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解 为什么
(1);
(2);
(3);
(4)
解：(1)因为右式不是整式的乘积形式,
所以这个变形不是因式分解.
(2)因为右式是与的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解.
(3)因为右式不是整式的乘积形式,
所以这个变形不是因式分解.
(4)因为右式是2a 1与2a 1的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解.
2.连一连:
分析：我们需要理解这些式子的含义，然后找到对应的式子.
解：这个式子可以因式分解为，这个式子可以因式分解为，
这个式子可以因式分解为，这个式子可以因式分解为，我们将这些式子与对应式子连线.
3.判断下列因式分解是否正确:
(1);
(2);
(3)
解：(1)不正确，应为：
(2)不正确，应为：；
(3)正确.
总结：判断因式分解是否正确，需验证分解后的表达式展开是否等于原式，并检验是否彻底分解.
4.小亮购买苹果、梨、葡萄三种水果,质量分别是4akg,2akg和akg,已知这三种水果每千克的价格分别为x元、y元、z元。
(1)他购买这三种水果共花了多少元
(2)用列出的式子计算总价,需要进行多少次加法运算、多少次乘法运算 能否通过对式子进行变形,减少运算次数,得出正确的结果
解：(1)他购买这三种水果共花了()元 .
(2)用列出的式子计算总价,需要进行2次加法运算、3次乘法运算.
能通过对式子进行变形,减少运算次数,得出正确的结果.
变形为,可减少2次乘法运算，得出正确的结果.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂检测
1.下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解 为什么
(1);
(2);
(3);
(4)
解：(1)因为右式不是整式的乘积形式,
所以这个变形不是因式分解.
(2)因为右式不是整式的乘积形式,
所以这个变形不是因式分解.
(3)因为右式是12a与x 2y的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解.
(4)因为右式(m+1)(m+3)是m+1与m+3的乘积形式,且左式=右式,
所以这个变形是因式分解.
2.下列因式分解是否正确 为什么
(1); (2).
分析：本题考查判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
解:(1)不正确，因为等式的右边不是几个整式的乘积的形式.
(2)正确，符合因式分解的定义.
3.下列各式中分解因式的结果为的是( );
A. B.
C. D.
分析：本题考查了因式分解与整式的乘法的关系，以及平方差公式的应用.通过将因式乘积展开，找到对应的多项式，从而确定答案.
解：将利用平方差公式展开，得，
因此，分解因式的结果为的是.
故选A.
4.若是多项式因式分解后的两个因式，求的值.
分析：本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键.
解：
总结归纳
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.

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