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第一章 有理数
1.6有理数的乘方
第1课时 有理数乘方的意义
1.正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
2.通过现实背景理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算.
3.已知一个数，会求出它的正整数指数幂，渗透转化思想.
4.培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力.
重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点： 准确建立底数、指数和幂三个概念，并能求幂的运算.
（一）创设情境
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8848.86米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？要解决这样的问题，需要用到“有理数的乘方”，让我们一起去寻找答案吧.
设计意图：从学生熟悉的珠穆朗玛峰入手，引入本节课需要探究的知识，激发了学生学习数学的兴趣.另外，珠穆朗玛峰的高度和纸的厚度形成鲜明的对比，更是激发了学生的好奇心.
（二）探究新知
任务一：探究有理数乘方的意义
合作探究：
1.四人一组，准备一张厚度为0.1毫米的纸，分别对折1次、2次、3次、4次、5次，并分别记录下纸的层数；
2.小组讨论：如果对折30次，纸的层数变成多少？
总结：观察发现：折叠n次后，层数就是2×2×2×···×2（共有n个2相乘），这样的式子表示起来很复杂，可以用乘方的形式来记.
回顾：
合作探究：四人一组，观察上面的记法和读法，完成下表
回顾：
合作探究：
归纳：
乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.
读作：a的n次方或a的n次幂；
表示的意义：n个a相乘.
提示：一个数的一次方就是这个数本身.例：就是6，指数1通常省略不写.2次方又叫平方，
3次方又叫立方.
师生活动：教师组织学生动手操作，小组合作探究，讨论交流.在这个过程中，教师适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充.
设计意图：通过学生动手操作，小组合作探究，讨论交流等活动，让学生通过现实背景理解有理数乘方的意义和学习有理数乘方的必要性，培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力.
（三）应用举例
例1：填空：
【提示】负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同符号)，用小括号括起来，括号里的数为底数.分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来.
例2：计算
（1） （2） （3）
分析：根据有理数乘方的意义进行计算.
解：（1）=（4）×（4）×（4）=-64
（2）=（2）×（2）×（2）×（2）=16
（3）=（-）×（-）×（-）=
【总结】求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号.0的任意次幂都是0.
例3：用计算器计算
（1） （2）
提示：注意 的用法.
例4：珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8848.86米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
解：连续对折30次的厚度为：
0.1×=107374182.4mm=107374.1824m>8848.86m
设计意图：通过层次渐进的四个例题,进一步理解有理数的意义，掌握利用乘方运算法则进行有理数乘方运算的方法.通过对导入问题的解决，体会数学与生活的密切联系，增强学习数学的信心.
（四）课堂练习
1.表示的意义是 ，其中底数是 ，指数是 ；
将写成乘方的形式为 ，底数是 ，指数是 ．
解：（1）个相乘，，（2），，
2.下列对于的叙述，正确的是( )
A. 表示的次幂 B. 表示个相乘的积
C. 表示个相乘的积的相反数 D. 表示个相乘的积
解：C
3.在，，，中，正数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
4.下列各组数中，运算结果相同的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
解：A
对于选项A，根据相反数以及绝对值的定义进行判断，
因为，，所以，故选项A符合题意．
对于选项B、、，根据有理数的乘方的定义进行判断，
，，选项B不合题意．
，，选项C不合题意．
，，选项D不合题意．
5.计算： ．
解：．
．
．
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过本节课的学习，你有什么收获？第一章 有理数
1.6有理数的乘方
第2课时 有理数的混合运算
1.了解有理数混合运算的意义，掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，并在运算过程中合理使用运算律.
3.培养学生对数的感觉，提高学生正确运算的能力，培养学生思维的逻辑性和灵活性，进一步发展学生的思维能力.
重点：会准确进行有理数加、减、乘、除、乘方混合运算.
难点：确定运算顺序.
创设情境
复习运算法则
合作探究：复习小学学过的四则混合运算的运算顺序
1、先算乘除，再算加减；
2、同级运算，从左往右依次计算；
3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
设计意图：引导学生复习有理数混合运算法则和顺序，一是体现了数学中的类比思想，二是为学好本节课内容作准备.
（二）探究新知
任务一：探究有理数混合运算的运算顺序
各抒己见：
1.上面式子中各有哪几种运算？
2.每个式子的运算顺序分别是什么
3.你能由此总结出有理数混合运算的运算顺序吗？
【总结】有理数混合运算的运算顺序
1、先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2、同级运算，从左往右依次计算；
3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
师生活动：学生先独立思考，然后小组合作探究、讨论交流.在这个过程中，教师适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充.
设计意图：通过学生独立思考，小组合作探究，讨论交流等活动，复习并类比总结出有理数混合运算顺序，为本节课的学习打下坚实的基础，也培养了学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力.
（三）应用举例
例1：计算：
分析：每个式子中有哪些运算？运算顺序是怎样的？
解：（1）原式= 10+8÷4 4×3
= 10+2 12
= 20
提示：与 的区别：=4； = 4
（2）原式=×+÷
=×+÷
=5+1
=4
运算小妙招：以加减号为界，把算式分成几部分，每一部分可同时单独运算.
例2：计算：
方法一：
方法二：
【总结】多观察，灵活选用运算律，可使运算过程简化.
设计意图：通过三个不同类型的例题,让学生掌握有理数的混合运算法则及运算顺序，能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，并在运算过程中合理使用运算律.从而培养学生对数的感觉，提高学生正确运算的能力，培养学生思维的逻辑性和灵活性，进一步发展学生的思维能力.
（四）课堂练习
1.按如图所示的程序运算：当输入的数据为时，则输出的数据是( )
A. B. C. D.
解：B
2.对于算式，下列运算步骤中，错误的是( )
A. B.
C. D.
解：C
3.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
解：B
4.计算：．
解：原式
．
5.计算：．
解：原式
．
6.计算：
．
解：原式
．
原式
．
原式
．
原式
．
7.阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：
解：原式第一步
第二步
第三步
上面解题过程有两处错误：第一处是第 步，错误的原因是
第二处是第 步，错误的原因是 ．
请将其更正．
解：二；没按顺序计算，乘除是同级运算，除法在前面，应该先进行除法计算；
三；没有按符号法则正确确定结果的符号
原式．
8.仔细观察下列两组数：
第一组：，，，，，
第二组：，，，，，．
第一组数是按什么规律排列的第二组数与第一组数有什么关系
取每组数的第个数，计算这两个数的和．
解：观察发现：，，，，，，
则第一组数为正整数的平方
因为，，，，，，
所以第二组数为第一组相应数的相反数加．
第一组数的第个数为，第二组数的第个数为，则，所以取每组数的第个数，这两个数的和为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过本节课的学习，你有什么收获？第一章 有理数
1.6有理数的乘方
第3课时 科学记数法
1.了解科学记数法的意义；学会用科学记数法表示大数；
2.借助身边熟悉的事物进一步感受生活中的大数，从而积累数学活动经验， 发展数感；
3.感受数学与生活的密切联系， 开拓学生视野， 激发学生学习数学的热情.
重点：学会用科学记数法表示大数.
难点：正确掌握的特征，探索归纳出科学记数法中指数n与原数的整数位数之间的关系.
创设情境
展示诗歌《迢迢牵牛星》：
迢迢牵牛星，皎皎河汉女.
纤纤擢素手，札札弄机杼.
终日不成章，泣涕零如雨.
河汉清且浅，相去复几许.
盈盈一水间，脉脉不得语.
说明：其实，这不过是人们的美好愿望罢了.牛郎星和织女星相距达16光年之遥，就算没有银河阻隔，俩人要想见上一面，也只能是在梦中了！他们想打个电话或者通个电报互相问好，这个长途电话单程就得16年！可见，天空中的牛郎织女两颗星是不可能“相会”的.
【提示】光年是一个长度单位，不是时间单位.光年指的是光在真空中传播一年的距离.
1光年=300000000×365×24×3600≈9460000000000000（米）≈94600（亿千米）
注：光速约300 000 000m/s
思考：这样大的数读、写都不方便，有没有简单的方法表示大数呢？
介绍生活中的大数：
长江三峡水库容量达 宇宙的年龄为
39 300 000 000 . 13 820 000 000年
【思考】有什么方法可以使这些大数易写、易读？
设计意图：由一首千古绝唱导入新课，体现了数学与语文的联系，激发了学生的学习兴趣；通过对1光年的计算，对长江三峡水库容量、宇宙年龄的介绍，让学生感受生活中的大数，体会学习科学记数法的重要性.开拓了学生视野， 激发了学生学习数学的热情.
（二）探究新知
任务一：探究10的乘方的特点
回顾有理数的乘方，计算：
=10，=100，，=10 000，=100 000，，……
合作探究：中
(1)指数n与运算结果中的0的个数有什么关系？
(2)指数n与运算结果的数位有什么关系
【归纳】（1）=10…0(在1的后面有n个0）；（2）n比运算结果的位数少1.
反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少.所以就可以用10的乘方表示一些大数.
填一填：
1.把下列各数写成10的幂的形式，即写成.
100=___，10 000=___，100 000 000=____.
2．填空：
300=3×_100__ =3×___；
32000=3.2×_10 000__ =3.2×____；
567000000=5.67×_100 000 000__=5.67×____.
任务二：探究科学记数法的意义
【归纳】一般地，绝对值大于10的数都可记成±a×的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数的方法叫做科学记数法.
注：n等于原数的整数数位减1.
如：1光年≈9 460 000 000 000 000（米）≈9.46×（米）
长江三峡水库容量：39 300 000 000（）=3.93×()
宇宙的年龄：13 820 000 000（年）=1.382×（年）
师生活动：学生先独立思考，然后小组合作探究、讨论交流.在这个过程中，教师适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充.
设计意图：通过学生独立思考，小组合作探究，讨论交流等活动，让学生了解科学记数法的意义，并学会用科学记数法表示大数.在这个过程中，培养了学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力.
（三）应用举例
例1：用科学记数法表示下列各数:
(1)304 000; (2)-8700 000; (3)-500 900 000; (4)63 000 000.
分析：科学记数法是将绝对值大于10的数记成±a×的形式(其中1≤a＜10，n是正整数).
解：（1）304 000=3.04×
（2）-8700 000=-8.7×
（3）-500 900 000= 5.009×
（4）63 000 000=6.3×
注：（1）右边10的指数等于左边整数的位数减1；
（2）用科学记数法表示负数时，先写出它的相反数的形式，再添加负号.
例2：下列用科学记数法表示的数原来分别是什么数？
1×， 8.5× ，7.04× .
解：1×=10 000 000； 8.5×=8 500 000；7.04×=704 000
【总结】将a×表示的数还原时，a中小数点向右移动n位，位数不够0来凑.
例3：《2020年全球森林资源评估》报告指出：1990年以来，全球因砍伐 而丧失了约4.2亿公顷森林，但森林丧失的速度已大幅下降，2015至2020年，每年因砍伐而丧失的森林面积约为1 000万公顷．请用科学记数法表示4.2亿和1000万.
【总结】用科学记数法表示带“亿、万”的数时，可以先将数还原，再表示.
设计意图：通过三个不同类型的例题,让学生充分理解科学记数法的意义和表示方法，帮助学生积累数学活动经验，培养学生的数感、思维的逻辑性和灵活性，进一步发展学生的思维能力.
（四）课堂练习
1.某自动控制器的芯片，可植入粒晶体管，这个数用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
解：B
2.我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为亿米，人均占有淡水量居全世界第位，因此我们要节约用水，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
解：C
3.把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上：

．
解：（1）
4.我国是一个严重缺水的国家，大家应更加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴滴水，每滴水约毫升．小明在洗手后，没有把水龙头拧紧，则
当小明离开小时后水龙头滴了大约多少毫升水用科学记数法表示？
这些水至少需要多少个矿泉水瓶才能装下一个矿泉水瓶能装下毫升水？
解：毫升．
个．
5.如果规定：，，．
你能用的指数的形式表示，吗
你能将表示成的形式吗其中，为负整数
解：，．
．
【解析】把一个数写成其中，为整数的形式时，是整数部分只有一位的数，当原数的绝对值时，等于原数的整数位数减当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数含整数数位上的零．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过本节课的学习，你有什么收获？

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