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第十一章 因式分解
11.2提公因式法
这节课是青岛版数学七年级下册第十一章第二节《提公因式法》.学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础.本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式
2.会用提公因式法把多项式分解因式
3.能够正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题.
4.在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想；在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系
重点：会用提公因式法分解因式
难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题
情境导入
小明求得圆环公路的面积为，所以记下面积为，你知道他为什么这样记录吗？
一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动一：探索公因式的概念．
思考：
(1)观察多项式,它有几项
答：多项式有ma，mb，mc三项
(2)它的各项有什么共同之处
答：它的每一项都有因式m.
归纳总结：
在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式.
例如，ma+mb+mc的公因式就是m.
师生活动：教师提出问题后主要由学生总结，由于有了“思考”环节的铺垫，学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式，知道公因式的概念.
活动二：探索提公因式法的定义
逆用乘法分配律,可以把公因式m提到括号外面,得到.
这就把多项式ma+mb+mc进行了因式分解.
对多项式ma+mb+mc进行因式分解时,把公因式m作为积的一个因式,多项式ma+mb+mc除以公因式m的商作为积的另一个因式.
思考：
(3)多项式中各项的公因式是什么
答：在多项式中,各项的公因式有2,a,2a.
(4)怎样把它进行因式分解
答：在对进行因式分解时,把2a作为要提出的公因式,
得到=2a(a+2b)
概述与表达：
提公因式法
一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
活动三：探索找公因式的方法
做一做：找出的公因式.
师生活动：学生认真思考，教师适当点拨.学生知道每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论.在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式.
归纳总结：
找公因式的方法：
定系数：公因式的系数应取各项系数的最大公约数
定字母：公因式中的字母取各项相同的字母
定指数：相同字母的指数取其次数最低的
设计意图：通过本环节中寻找多项式中各项的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力，顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力.
应用举例
例1 将下列各式因式分解:
(1); (2)
解：(1).
(2).
师生活动：学生认真思考后尝试解答，教师进行强调：用提公因式法进行因式分解,关键在于找出多项式各项的公因式
例2. 将下列各式因式分解:
(1); (2)
解:(1)
师生活动：学生思考后独立完成例题，2名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．并提醒学生：(1)把m-6看成一个整体“提”出来(2)把a-b看成一个整体“提”出来,公因式的系数是负数时,提公因式后各项要变号.
方法总结：找准公因式要“五看”：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项含有负号，则公因式符号为负．
设计意图：通过例2，让学生加深对提公因式法的理解，正确掌握提公因式法进行因式分解的运用方法.
例3 a是整数,请说明一定能被2整除的理由.
分析:本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将原式正确的因式分解，从而判断出代数式是2的倍数.
解：因为且a是整数,
所以，为两个连续整数的乘积.
因为连续的两个整数中必有一个为偶数，
所以)为偶数.
故一定能被2整除.
师生活动：教师引导学生利用提公因式法进行因式分解后，再思考后完成例题.
设计意图：通过此题，让学生进一步体会提公因式法的含义，并会运用提公因式法解决问题.
课堂练习
1.在下列括号内填写适当的多项式:
(1)=x( );
(2)( ).
分析:本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
解：(1)=x( );
(2)()
2.将下列各式因式分解:
(1); (2)
分析:本题考查因式分解，掌握利用提公因式法因式分解的方法是解题的关键.
解：(1)
(2)
3.将下列各式因式分解:
(1); (2)
解：(1).
(2)
=
=
=.
总结：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守，提负要变号.
4. 是7的倍数吗 为什么
分析:将表达式中的各项提取公因数，化简后判断是否含有因数7.
解：
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂检测
1.填空:
(1)= ();
(2)( );
(3)( );
(4)= ()
分析:本题考查了提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键.直接利用提公因式法分解因式即可得出答案.
解：(1)= 2ab ();
(2)( 7a+b3 );
(3)( a 2 2b );
(4)= ab(x y) ()
2.将下列各式因式分解:
(1); (2);
(3); (4)
分析:本题考查因式分解，根据题意，运用提公因式法进行因式分解即可，注意分解要彻底.
解:(1).
(2).
(3).
(4).
3.将下列各式因式分解:
(1); (2);
(3); (4).
分析:本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
(1)原式提取公因式即可；
(2)原式变形后，提取公因式即可；
(3)原式变形后，提取公因式即可；
(4)原式变形后，提取公因式即可.
解：(1).
(2).
(3).
(4)
=.
4.用简便方法计算:
(1); (2)2023×2026-2023×2024+8×2023.
分析:本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
(1)利用提取公因式法进行因式分解即可；
(2)利用提取公因式法进行因式分解即可.
解：(1) -2023×23
=2023×(2023-23)
=2023×2000.
=4046000
(2) 2023×2026-2023×2024+8×2023
=2023×(2026-2024+8)
=2023×10.
=20230
注意：公因式既可以是一个单项式，也可以是一个多项式的形式，还可以是数字.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.

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