资源简介

第十一章 因式分解
11.3公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
《运用平方差公式因式分解》是青岛版初中数学七年级下册第十一章第三节《公式法》第1课时的内容.在此之前，学生已学习多项式的因式分解概念和提公因式法，这为本节课学习奠定基础.同时，它是后续学习完全平方公式因式分解以及分式运算、解方程等知识的重要支撑，在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用.通过本节课学习，学生能进一步理解因式分解的意义，掌握新的因式分解方法，提升运算能力和逻辑思维能力，为数学学习的深化发展做好准备.
1.理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式因式分解.
2.经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出因式分解的方法的过程，培养学生学会观察、学会分析，发展学生的逆向思维和推理能力．
3.在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯.
重点：理解并掌握平方差公式的特征和使用平方差公式因式分解的条件.
难点：正确使用平方差公式进行因式分解.
复习回顾
1.什么叫多项式的因式分解？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种式子变形叫作这个多项式的因式分解.
2.已学过哪一种因式分解的方法？
提公因式法
3.你对平方差公式认识有多深？
(△+ )(△- )= △2- 2 (首+尾)(首-尾)=首2-尾2
首是 尾
师生活动：教师提问，引导学生回忆多项式因式分解概念、已学因式分解方法及平方差公式，学生思考作答，教师总结点评，强化重点知识.
设计意图：巩固旧知，为学习新知识做铺垫，引出新课内容，同时了解学生知识掌握情况.
探究新知
活动一：探究平方差公式的特点
填空：
（1）；
（2）；
（3）．
多项式，和它们有什么共同特征？
它们都表示两项的差，且每一项都可以写成平方的形式.
，，
师生活动：探究平方差公式的特点 教师展示多项式，引导学生填空并观察其特征，学生思考、计算、讨论，总结共同特征，教师归纳总结并强调关键.
设计意图：让学生通过自主探究，发现平方差公式特点，培养观察、分析和归纳能力.
活动二：探究利用平方差公式因式分解
把平方差公式等号两边互换位置，得到：
利用它就可以将上面的式子因式分解.
（1）；
（2）；
（3）．
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
步骤：①提：有公因式先提公因式；
②套：正确套用公式；
③查：查分解是否彻底，左右两边是否相等.
师生活动：教师引导学生互换平方差公式等号两边位置，讲解利用其因式分解的方法和步骤，学生理解、模仿练习，教师巡视指导，纠正错误.
设计意图：让学生经历公式逆向推导过程，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，掌握平方差公式因式分解方法和步骤.
活动三：平方差公式因式分解的应用
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（2）
（4）
（5 （6）
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：的形式.
师生活动：教师出示多项式，引导学生判断能否用平方差公式分解因式并说明理由，学生思考、判断、回答，教师点评总结，强调适用条件.
设计意图：强化学生对平方差公式适用条件的理解，提高判断和分析能力.
应用新知
例1.将下列各式因式分解:
（1）； （2）.
分析：转化为两项平方差的形式，利用公式展开.
解：（1）.
（2）.
例2.把下列各式因式分解:
（1）； （2）.
分析：转化为两项平方差的形式，利用公式展开.
解：（1）.
（2）.
小结：转化为的形式，再分解因式.
例3.把下列各式因式分解:
（1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2；
（3）.
当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.
例4.如图，每个图中先将(，n为正整数)个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，再将右上角的1个小正方形去掉，每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形吗？ 为什么？
分析：先计算剩下小正方形的数量，再因式分解.
解：原大正方形由个小正方形组成，去掉1个后，剩余个小正方形.
正整数，因此，，
此时，每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长为，宽为的长方形，且长和宽均都不等于1.
答：每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形.
例5.某公园准备在一块边长为am的正方形草地的四周修建一条宽为1m的人行路，求人行路的面积.(用含a的代数式表示)
分析：人行路加上草地的面积是一个边长为的正方形.
解：
答：人行路的面积为.
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析题目，将多项式转化为平方差形式；学生听讲、思考、参与解题过程，尝试自主完成类似题目，教师巡视指导，展示学生成果并点评.
设计意图：通过例题练习，让学生熟练掌握平方差公式因式分解方法，提高解题能力，培养知识应用和转化能力.
课堂练习
1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解？如果可以，写出因式分解的结果.
（1； （2）； （3）；
（4） ； （5）； （6）
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4） 不能因式分解.
（5）.
（6） 不能因式分解.
2.将下列各式因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）.
（2）.
（3.
（4）.
3.手表表盘的外圆直径为34mm，内圆直径为26 mm，在外圆与内圆之间涂有荧光材料.求涂有荧光材料的圆环的面积(π≈3.14).怎样计算比较简便？
分析：圆环面积=外圆面积-内圆面积，再利用平方差公式可简便运算.
解：
答：涂有荧光材料的圆环的面积是.
师生活动：教师布置练习，学生独立完成；教师巡视，收集问题，集中讲解典型错误.
设计意图：及时巩固所学知识，发现学生学习问题，针对性指导，强化学生对知识的掌握.
课堂检测
1.下列各式可以用平方差公式因式分解吗？如果可以，请因式分解；如果不可以，请说明理由.
（1）； （2）； （3）； （4）.
分析：根据基本形式判断和因式分解.
解：（1）不可以因式分解，不能写成的形式；
（2）可以因式分解，.
（3）不可以因式分解，不能写成的形式.
（4）可以因式分解，.
2.把下列各式因式分解:
（1）； （2）； （3）； （4）.
分析：先把已知式子转化为的形式，根据平方差公式因式分解.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
3.把下列各式因式分解:
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
注意：有公因式的，先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.
4.如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔.若，，请利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
分析：剩余钢板面积=半径为R的钢板面积-半径为r的四个小圆孔面积.
解：
当时，原式
答：剩余钢板的面积为.
师生活动：教师发放检测题，学生限时完成，教师批改，反馈结果，分析问题，个别辅导.
设计意图：全面了解学生学习效果，评估教学目标达成情况，为后续教学调整提供依据.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.运用平方差公式因式分解的依据是什么？
3.因式分解的步骤是什么？
设计意图：帮助学生梳理知识，加深理解记忆，培养总结归纳能力，强化学习效果.第十一章 因式分解
11.3公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
《运用完全平方公式因式分解 》是青岛版初中数学七年级下册第十一章第三节《公式法》第2课时的内容．在此之前，学生已学习了因式分解的意义、提公因式法以及平方差公式因式分解，这为本节课学习完全平方公式因式分解奠定了基础．同时，本节课的知识又是后续学习分式运算、解方程以及二次函数等知识的重要基础，在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用．完全平方公式因式分解是一种重要的恒等变形，它将复杂的多项式化简为几个整式乘积的形式，有助于培养学生的逆向思维和运算能力，进一步提升学生对数学公式的理解和运用能力．
1．在掌握了因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
2．经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3．在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
4．培养学生逆向思维的意识，同时培养学生团队合作、互帮互助的精神，进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
重点：理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．
难点：掌握运用完全平方公式进行因式分解的方法，能正确运用完全平方公式把多项式进行因式分解．
复习回顾
请你根据所学知识，将下面的多项式分解因式：
（1）；
（2）；
问题:因式分解的一般步骤是什么？
有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式．
问题:除了平方差公式我们还学过其他乘法公式吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生回答并分解给定多项式，学生思考、回答问题，进行因式分解．
设计意图：复习旧知，为学习完全平方公式因式分解做铺垫，引发学生对因式分解方法的回忆，同时引出本节课要探究的内容．
探究新知
活动一：观察多项式的特征
1．整式乘法中的完全平方展开式
2．观察多项式:
①共几项？三项
②这三项有什么特点？有两项是两数的平方和，一项为这两数乘积的2倍．
3．判别下列各式是不是满足上述特征，若满足，说出相应的a、b各表示什么？
（1）； ，
（2）； 平方项不同号
（3）； 乘积项不是平方项底数的倍
（4）； 只有两项
（5）； ，
（6）． ，
师生活动：教师引导学生回顾整式乘法中的完全平方公式，让学生观察多项式特点并总结完全平方式的特征，学生观察、思考、讨论，回答问题并判断给定式子是否为完全平方式．
设计意图：通过观察、分析，让学生自主发现完全平方式的特点，培养学生的观察能力和归纳总结能力，加深对完全平方式的理解．
活动二：对多项式因式分解
1．观察多项式和，它们有什么共同特征？
这两个多项式都是三项，都满足或的形式．
怎样将上面两个多项式因式分解？
运用乘法公式可得
2．完全平方因式分解
即两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的2倍，等于这两数和(差)的平方．
形如或的式子叫做完全平方式.我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法
3．利用公式，如何将因式分解呢？
由，把看作公式中的a，3n看作公式中的b，这样，利用完全平方公式就得到．
4．如何分解？
有公因式的，先提公因式．
．
活动三：归纳完全平方因式分解的特点
利用完全平方公式因式分解的一般步骤：
①提（提公因式）
②套（套完全平方公式）
③验（检验因式分解是否彻底）
我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法．
师生活动：教师引导学生观察多项式特征，启发学生运用乘法公式进行因式分解，学生尝试对多项式进行因式分解，总结因式分解步骤．
设计意图： 让学生经历探索过程，感受逆向思维在因式分解中的应用，掌握利用完全平方公式因式分解的方法和步骤，培养学生的逆向思维和运算能力．
应用新知
例1．将下列各式因式分解:
（1； （2）．
分析：根据完全平方公式的特点，进行因式分解即可．
解: （1）
（2）
小结:转化为的形式，再因式分解．
例2．把下列各式因式分解:
（1）； （2）．
解：（1）．
（2）．
小结：找准完全平方公式中的a、b，以及积的二倍符号问题．
例3．将下列各式因式分解:
（1）； （2）； （3）．
分析：先提公因式，按照完全平方公式因式分解．
解：（1）．
（2）．
（3．
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析题目特点，运用完全平方公式进行因式分解，学生听讲、思考、模仿练习，完成例题解答．
设计意图：通过例题练习，让学生巩固利用完全平方公式因式分解的方法，提高学生运用公式解决实际问题的能力，进一步强化对公式的理解和运用．
课堂练习
1．将下列各式因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
分析：先写成完全平方的基本形式，再按照完全平方公式因式分解．
解:（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．按照完全平方公式，在括号内填入适当的整式:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
小结：根据完全平方式即可求解.
3．把下列各式因式分解:
（1）；（2）； （3）；（4）．
分析：较复杂的需要先提公因式，再利用公式法进行因式分解．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
小结：化简时注意符号.
师生活动：教师布置练习，巡视指导，学生独立完成练习，同桌交流讨论，教师点评讲解．
设计意图：及时巩固所学知识，发现学生存在的问题并及时纠正，培养学生独立思考和解决问题的能力，增强学生的合作交流意识．
课堂检测
1．把下列各式因式分解:
（1）； （2）；
（3）； （4）．
分析：根据基本形式或分解．
解：（1）；
（2）；
（3）；
．
小结：注意完全平方公式中的a、b.
2．把下列各式分解因式:
（1）； （2； （3）； （4）．
分析：先把已知式子转化为 的形式，根据完全平方公式分解．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3．把下列各式分解因式:
（1）； （2）．
分析：a，b为式子时，注意符号.
解：（1）；
．
4．请给添加一个单项式，使得到的多项式能运用公式法分解因式.谈谈你的解题思路.
分析：本题考查了因式分解，解题的关键是注意添项时，要保证多项式能用公式法进行因式分解.根据完全平方公式和平方差公式，即可解答.
解：添加，原式.
添加，原式.
添加，原式.
师生活动：教师发放检测题，规定时间让学生完成，学生认真答题，教师批改、反馈．
设计意图：全面了解学生对本节课知识的掌握情况，对学生的学习效果进行评价，为后续教学提供参考，同时培养学生的应试能力和认真严谨的学习态度．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．运用完全平方公式因式分解的运算法则是什么？
本节课是第十一章“因式分解”的第三节《公式法》中的第2课时，本节课在教学过程中，通过复习回顾旧知，自然地引出了完全平方公式因式分解的学习内容，使学生能够较好地衔接前后知识．在探究新知环节，注重引导学生自主观察、分析和总结，培养了学生的多种能力．但在教学过程中也发现了一些不足之处：
1．在辨别完全平方式时，部分学生对公式特征的理解不够深入，导致判断错误．在今后的教学中，应加强对完全平方式特征的强化训练，增加更多易混淆式子的判断练习，加深学生对概念的理解．
2．在综合运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解时，部分学生运算速度较慢且错误较多．后续教学要增加此类综合题目的练习量，规范学生的解题步骤，培养学生认真细致的运算习惯，提高学生的运算能力．
3．在课堂时间把控上，课堂练习和检测环节时间略显紧张，导致部分学生没有充分思考．在今后教学设计中，要更加合理地安排各环节时间，确保学生有足够时间进行练习和思考，提高课堂教学效率．

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