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21.1 二次函数
教学目标
1.以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
3.联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.
重点难点
【重点】
二次函数的概念.
【难点】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的
[一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)]
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系
(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系
(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)
上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示 这种函数有哪些性质 它的图象是什么 它与以前学过的函数、方程等有哪些关系
这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)
二、新课教授
师:我们再来看几个问题.
问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x.
问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多 玩具总数最多是多少
设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为
y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850.
这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.
二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0三、典型例题
【例1】 判断下列函数是否为二次函数 如果是,指出其中常数a、b、c的值.
(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);
(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;
(5)y=; (6)y=;
(7)y=x4+2x2-1.
解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数
解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;
(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.
解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.
四、巩固练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数
(1)y=3x2-1;(2)y=5x2-2x;(3)y=-2x2+x-1;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.
【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数
2.y=(m+1)-3x+1是二次函数,则m的值为 .
【答案】2
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【答案】S=4πr2
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学反思
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.

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