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5.3　实际问题与一元一次方程
第1课时　配套问题与工程问题
1．熟练掌握利用一元一次方程解决产品配套问题和工程问题的方法，抓住解决这两类问题的关键．
2．熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路．
▲重点
列方程解决实际问题．
▲难点
根据题意找等量关系．
◆活动1　新课导入
48位大学生暑假到水利工地做义工，若每人每天平均挖土5 m3或运土3 m3，他们如何配合，才能使挖出的土及时运走？
若设其中x人挖土，则运土的人数为__(48－x)__人，根据题意，可列方程__5x＝3(48－x)__．
◆活动2　探究新知
1．教材P133　例1.
提出问题：
(1)“1个螺栓配2个螺母”隐含着什么等量关系？
(2)本题中有哪些等量关系？
(3)如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
学生完成并交流展示．
2．教材P133　例2.
提出问题：
(1)题目中把什么看作1
(2)题目中的已知量和未知量分别是什么？
(3)题目中的等量关系是什么？
(4)列出的方程是什么？
(5)由此你能归纳出用一元一次方程解决实际问题的基本步骤吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．配套问题：关键是明确题目中的数量关系，根据数量关系列出方程．
2．工程问题：常把总工作量看作1，再利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系列出方程．
3．用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括：(1)审清题意，找等量关系；(2)设未知数，一般设所求的量为未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验、作答．
◆活动4　例题与练习
例1　某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个，该如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？
解：设安排x名工人生产镜片，则有(60－x)名工人生产镜架．
由题意，得200x＝50(60－x)×2，
解得x＝20，则60－x＝40.
答：安排20名工人生产镜片，40名工人生产镜架，才能使每天生产的产品配套．
例2　整理一批数据，由一人做需80 h完成，现在计划先由一些人做2 h，再增加5人做8 h，总共完成这项工作的，应该怎样安排参与整理数据的具体人数？
解：设开始安排x人做．
依题意，得2×x＋8×(x＋5)＝，
解得x＝2.
答：应该先安排2人做2 h后，再增加5人做8 h．
例3　超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9∶7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2∶5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域(A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶)，在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3∶7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱．
解：原有某品牌纯牛奶80×＝45(箱)，酸牛奶80×＝35(箱).
设新进的纯牛奶为2x箱，酸牛奶为5x箱．
根据题意，得(2x＋2)∶(5x－2)＝3∶7，解得x＝20.
目前纯牛奶有20×2＋45＝85(箱)，目前酸牛奶有20×5＋35＝135(箱).
答：目前超市中纯牛奶有85箱，酸牛奶有135箱．
练习
1．教材P134　练习第1，2，3题．
2．教室里有40套桌椅(一把椅子配一张桌子)，总价值2 800元，每把椅子20元，则每张桌子多少元？设每张桌子x元，可列方程为(B)
　A．40x＋20＝2 800 B．40x＋40×20＝2 800
　C．40(x－20)＝2 800 D．40x＋20(40－x)＝2 800
3．一项工作中，甲单独做需要10 h完成，乙单独做需要15 h完成，那么甲每小时完成总工作量的____，乙每小时完成总工作量的____．若设甲、乙合作需要x h完成，则可列方程为__＋＝1__，解得x＝__6__．
4．某配件厂原计划每天生产60件产品，改进技术后，工作效率提高了20%，这样不仅提前5天完成了生产任务，并且比原计划多生产了48件产品，求原计划要生产多少件产品．
解：设原计划要生产x件产品．
根据题意，得－＝5，解得x＝2 040.
答：原计划要生产2 040件产品．
◆活动5　课堂小结
1．利用一元一次方程解决产品配套问题．
2．利用一元一次方程解决工程问题．
1．作业布置
(1)教材P140　习题5.3第2，3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　销售中的盈亏问题
1．熟练掌握利用一元一次方程解决销售类问题的方法，抓住解决这类问题的关键．
2．熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路．
▲重点
列方程解决实际问题．
▲难点
找等量关系列方程．
◆活动1　新课导入
小明帮助爸爸出售了一件衣服，售价是60元，当他爸爸回来一看，盈利25%，你能算出这件衣服的原价吗？
设这件衣服的原价为x元，则根据题意，可列方程__x(1＋25%)＝60__．
◆活动2　探究新知
教材P135　探究1.
提出问题：
(1)如何判定是盈利还是亏损？
(2)盈利率、亏损率指的是什么？
(3)哪些是已知量？哪些是未知量？如何设未知数？等量关系是什么？如何列方程？
(4)你能总结一下商品销售问题中有关利润的关系式吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．产品销售利润问题中的关系式：
(1)利润＝__售价__－__进价__；
利润率＝×100%；
(2)打x折后的售价＝标价×.
2．用方程解决问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的__实际意义__．
◆活动4　例题与练习
例1　甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原来的单价之和提高了2%，甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
解：设甲商品原来的单价为x元，则乙商品原来的单价为(100－x)元．
依题意，得(1－10%)x＋(100－x)(1＋5%)＝100(1＋2%)，
解得x＝20，则100－x＝80.
答：甲商品原来的单价为20元，乙商品原来的单价为80元．
例2　某商场销售的一款空调每台的标价是3 270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.
(1)求这款空调每台的进价；(利润率＝＝)
(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调共100台，问盈利多少元？
解：(1)设这款空调每台的进价为x元．
根据题意，得3 270×0.8－x＝9%x，
解得x＝2 400.
答：这款空调每台的进价为2 400元；
(2)100×2 400×9%＝21 600(元).
答：盈利21 600元．
练习
1．教材P136　练习第1，2题．
2．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是(B)
A．120元 B．125元
C．135元 D．140元
3．一件商品标价200元，若以六折销售，仍可获利20%，则这件商品的进价是(A)
A．100元 B．105元
C．108元 D．118元
4．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．按标价的八五折销售该工艺品8件与按标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
解：设该工艺品每件的进价是x元，则标价是(45＋x)元．
依题意，得8(45＋x)×0.85－8x＝(45＋x－35)×12－12x，
解得x＝155，则45＋x＝200.
答：该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．
◆活动5　课堂小结
1．谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
2．商品销售中的基本等量关系有哪些？
1．作业布置
(1)教材P141　习题5.3第10，14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第3课时　球赛积分表问题与图表信息问题
1．探索球赛积分与胜、负场之间的数量关系，体会方程是解决实际问题的数学模型.
2．利用一元一次方程解决积分、图表问题．
▲重点
弄清题意，理解积分与场次间的数量关系．
▲难点
根据题意从图表中获取有用信息并列方程解决问题．
◆活动1　新课导入
教师：操作视频课件、播放篮球比赛片段．
学生：欣赏球赛．
◆活动2　探究新知
教材P136　探究2.
提出问题：
(1)胜一场和负一场各积多少分？
(2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系．
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．球赛积分：积分越高，名次越好．
(1)比赛总场数＝胜场数__＋__负场数__＋__平场数；
(2)比赛总积分＝胜场积分__＋__负场积分__＋__平场积分．
2．用方程解决问题，必须检验方程的解是否符合实际意义．
◆活动4　例题与练习
例1　某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少．
解：设这个队胜x场，则负(16－x)场．
根据题意，得2x＋1×(16－x)＝25，解得x＝9，
则16－x＝7.
答：这个队胜9场，负7场．
例2　某班一次数学小测验中，共出了20道选择题，每答对一题得5分，总分为100分，现从中抽出5份试卷进行分析，如下表所示：
试卷 正确个数 错误个数 得分
A 19 1 94
B 18 2 88
C 17 3 82
D 14 6 64
E 10 10 40
　　(1)某同学得70分，他答对了多少道题？
(2)有一同学H说他得86分，另一同学G说他得72分，谁在说谎？
解：设某同学答对了x道题，则答错了(20－x)道题．根据表格分析得答对一题得5分，答错一题扣1分，由此得出答对x道题得分为5x－(20－x)＝6x－20.
(1)当6x－20＝70时，解得x＝15；
(2)当6x－20＝86时，解得x＝17；
当6x－20＝72时，解得x＝15.
因为x是整数，所以两个同学都在说谎．
练习
1．教材P137　练习第1，2题．
2．足球赛胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某中学足球队共比赛15场，其中胜的场数为负的场数的2倍，共得17分．设这个足球队共负x场，则下列方程正确的为(A)
A．2x×2＋(15－2x－x)×1＝17 B．2x×2＋(15－2x)×1＝17
C．2x×2＋(15－x)×1＝17 D．2x×1＋(15－2x－x)×2＝17
3．在女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成功卫冕．女排世界杯比赛积分规则如下表所示：
大比分 胜(积分) 负(积分)
3∶0 3 0
3∶1 3 0
3∶2 2 1
　　若中国队以大比分3∶2取胜的场次有x场，则根据以上信息列方程为__3(11－x)＋2x＝32__．
4．爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？
解：设爷爷一共赢了x盘象棋，则孙子赢了(12－x)盘象棋．
根据题意，得x＝(12－x)×3，解得x＝9，则12－x＝12－9＝3.
答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘．
◆活动5　课堂小结
1．谈谈本节课的收获．
2．用方程解决实际问题时，不仅要注意列出正确的方程，还要注意方程的解是否符合日常实际．
1．作业布置
(1)教材P140～141　习题5.3第12题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第4课时　空调综合费用与方案选择问题
1．利用一元一次方程解决生活中的分段计费问题和方案决策问题．
2．将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题．
3．了解分类讨论思想．
▲重点
用方程解决生活中分段计费问题．
▲难点
将实际问题转化为数学问题，利用一元一次方程做决策．
◆活动1　新课导入
我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水量不超过7 m3，则按每立方米1元收费；若每月用水量超过7 m3，则超过部分按每立方米2元收费．如果某户居民今年5月份缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为多少立方米？
解：设这户居民今年5月份用水量为x m3，则超出7 m3的部分为(x－7)m3.
根据题意，得7×1＋(x－7)×2＝17，解得x＝12.
答：这户居民今年5月份的用水量为12 m3.
◆活动2　探究新知
教材P138　探究3.
提出问题：
(1)从表中你能获得哪些信息？
(2)你能分别把能效等级不同的空调综合费用表示出来吗？
(3)使用年数为多少时？购买1级能效空调更省钱？
(4)使用年数为多少时？购买3级能效空调更省钱？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
解决方案决策问题的一般方法：
(1)将题目中变化的一个量设为未知数x，并用含x的__代数式__表示其他相关的量；
(2)列方程求出特殊情况下未知数的值；
(3)研究在特殊情况之外的未知数的值产生的结果，并比较这些结果；
(4)根据比较出的结果决定最优方案．
◆活动4　例题与练习
例1　出租汽车4 km起步价10元，行驶4 km以后，每千米收费1.2元(不足1 km按1 km计)．小红乘坐出租车下车时付给司机16元(不计等候时间)，则小红乘坐出租车最远可行驶多少千米？
解：设小红乘坐出租车最远可行驶x km.
由题意，得10＋1.2×(x－4)＝16，
解得x＝9.
答：小红乘坐出租车最远可行驶9 km.
例2　请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
解：(1)设一个暖瓶x元，则一个水杯(38－x)元．
由题意，得2x＋3(38－x)＝84，
解得x＝30，则38－x＝38－30＝8.
答：一个暖瓶30元，一个水杯8元；
(2)到乙商场购买更合算，理由如下：若到甲商场购买，则共需(4×30＋15×8)×90%＝216(元)；若到乙商场购买，则共需4×30＋(15－4)×8＝208(元).
因为208＜216.所以到乙商场购买更合算．
练习
1．教材P139　练习第1，2题．
2．某市出租车起步价是5元(3 km及3 km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足1 km按1 km收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能是(B)
　A．5.5 km B．6.9 km C．7.5 km D．8.1 km
3．某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店按八折购物，下列情况买卡购物合算的是(C)
　A．购900元 B．购500元 C．购1 200元 D．购1 000元
4．为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下表．
档次 每户每月用电量/度 执行电价/(元/度)
第一档 小于或等于200 0.55
第二档 大于200且小于400 0.6
第三档 大于或等于400 0.85
　　例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费200×0.55＋(400－200)×0.6＋(420－400)×0.85＝110＋120＋17＝247(元).某户居民六月份缴电费289.5元，则该户居民六月份用电多少度？
解：因为第一档需交200×0.55＝110(元)，第二档需交(400－200)×0.6＝120(元)，110＋120＝230＜289.5，所以六月份用电量在第三档．
设该居民六月份用电x度．
根据题意，得110＋120＋0.85(x－400)＝289.5，解得x＝470.
答：该户居民六月份用电470度．
◆活动5　课堂小结
1．利用一元一次方程解决分段计费问题．
2．利用一元一次方程解决方案决策问题．
1．作业布置
(1)教材P141　习题5.3第14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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