1.5 有理数的乘法和除法 教学设计(共4课时)湘教版(2024)数学七年级上册

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1.5 有理数的乘法和除法 教学设计(共4课时)湘教版(2024)数学七年级上册

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第一章 有理数
1.5 有理数的乘法和除法
第1课时 有理数的乘法
一、教学目标
1.经历探索有理数乘法法则的过程,掌握有理数的乘法法则,并体会法则的合理性;
2.会进行有理数的乘法运算;
3.会用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则;
4.在探索过程中发展观察、归纳、猜测、验证等能力.
二、教学重难点
重点:掌握有理数的乘法法则,并体会法则的合理性;会进行有理数的乘法运算.
难点:会进行有理数的乘法运算.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
5×6=30,正数×正数=正数;
5×0=0,正数×0 =0;
5×(-6)=?,正数×负数=?;
(-5)×0=?,负数×0 =?;
(-5)×(-6)=?负数×负数=?.
在小学学过乘法对加法的分配律,并且知道利用分配律进行计算.例如:
60×(+)=60×+60×=4×4+5×5=16+25=41
分配律 a×(b + c)=ab + ac
现在规定有理数的乘法法则,目的就是让有理数的乘法也满足乘法对加法的分配律.
设计意图:通过复习旧知,引出引入负数后该如何进行乘法运算,为新课的学习做准备.
环节二 探究新知
【探究】
(1)3×(-5)应当规定为多少?
根据乘法的意义:3×(-5)=(-5)+(-5)+(-5)=-15,
3×5=5+5+5=15,
所以3×(-5)与3×5 互为相反数.
实际上,为了满足有理数的乘法对加法的分配律,则有
3×(-5)+3×5=3×[(-5)+5]=3×0=0 .
3×(-5)与3×5 互为相反数.
所以3×(-5)= - (3×5).
思考: 为了满足有理数的乘法对加法的分配律, (-5)×3该怎样规定?
同样为了满足有理数的乘法对加法的分配律,则有
(-5)×3+5×3=[(-5)+5]×3=0×3=0 .
(-5)×3与5×3 互为相反数.
所以(-5)×3= - (3×5).
从而规定:正数与负数相乘得负数,并把绝对值相乘.
【做一做】
计算:2×0= ________,0×(-5)= _______
0×2 = ________,(-5) ×0= ________
答案:0,0,0,0.
思考:任何数与0相乘,得数是多少?
预设:0与任何数相乘得0.
【探究】
(2) (-5)×(-3)应当规定为多少
为了满足有理数的乘法对加法的分配律,则有
(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0 .
所以(-5)×(-3)与(-5)×3互为相反数.
所以(-5)×(-3)=-[(-5)×3]=-[-(5×3)]=5×3
因此,为了满足有理数的乘法对加法的分配律,就必须规定:
负数与负数相乘得正数,并把绝对值相乘.
【归纳】
有理数的乘法法则:
同号两数相乘得正数,异号两数相乘得负数,并把绝对值相乘;
0乘任何数都得0 .
设计意图:通过合作探究,思考为满足乘法对加法的分配律,探究得到有理数的乘法法则,培养学生合作意识及归纳总结的能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题,学生先独立思考,解答.然后再小组交流探讨,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程.
例1 计算:
(1)3×(-2) (2)(-8)×5;
(3)0×(-6.18);(4)

分析:(1)两因数符号不同,所得积为负;
(2)两因数符号不同,所得积为负;
(3)0与负数相乘,所得积为零;
(4)负数与0相乘,所得积为零;
(5)两因数符号不同,所得积为负;
(6)两因数符号相同,所得积为正;
(7)两因数符号相同,所得积为正;
解:
(1)3×(-2)=-(3×2) =-6;
(2)(-8)×5=-(8×5) =-40;
(3)0×(-6.18)=0;
(4)
(5);
(6)
(7)
归纳:同号两数相乘,所得积为正;异号两数相乘,所得积为负;0乘任何数为0.
【思考】
类比有理数加法的运算步骤,应用有理数乘法法则进行计算时,应按照怎样的顺序进行计算
计算有理数乘法的步骤:
①确定积的符号;
②将绝对值相乘.
设计意图:巩固有理数的乘法法则,培养学生的计算能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两数的绝对值相等,则这两个数一定相等
B.两数之差为负,则两数均为负
C.两数之和为正,则两数均为正
D.两数之积为正,则这两数同号
答案:D.
2.计算
(1) 13×(-7);(2) (-15)×(-16);
(3) (-9.8) × 0;(4) 0×(-18) .
解:(1) 13×(-7)=- (13×7) =-91;
(2) (-15)×(-16)=15×16=240;
(3) (-9.8) × 0=0;
(4) 0×(-18)=0 .
3. 计算:
(1)( )×;(2)×( );(3)( )×( );
(4)( )×( );(5)( 4.2)×1.3;(6)( 1.5)×( 6.4).
解:(1)( )×= (×)=
(2)×( )= (×)=
(3)( )×( )=×=;
(4)( )×( )=×=;
(5)( 4.2)×1.3= (4.2×1.3)= 5.46;
(6)( 1.5)×( 6.4)=1.5×6.4=9.6.
3.刘欣的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到菜市场去卖,下面是一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的质量记录表(每筐以 25 kg 为标准质量):
求这一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的总质量.
解: 25×30+4×(-0.8)+6×(+0.6)+3×(-0.5)+4×(+0.4)+
4×(+0.5)+4×(-0.3)+5×(+0.3)
= 750+(-3.2)+3.6+(-1.5)+1.6+2+(-1.2)+1.5
= 752.8 ( kg )
答:这一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的总质量是 752.8 kg.
设计意图:通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.配套初中数学湘教版
第一章 有理数
1.5 有理数的乘法和除法
第2课时 有理数的乘法运算律
一、教学目标
1.经历探索有理数乘法运算律的过程,发展观察、归纳、猜测、验证的能力.
2.掌握有理数乘法的运算律.
3.能正确运用乘法运算律简化运算.
4.提高学生的运算能力与解决问题的能力,提升学习兴趣.
二、教学重难点
重点:掌握有理数乘法的运算律.
难点:能正确运用乘法运算律简化运算.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习引入】
教师活动:教师出示练习,并提问,引导学生回顾有理数乘法的计算方法,为探究有理数乘法的运算律奠定基础.
算一算:
(1)(–7)×2= (2)(–5)×(–3)=
(3)8×(1–4)= (4)0×(–12)=
师:想一想它们是如何计算的呢?
预设答案:
1.两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
2.任何数同0相乘,结果仍然是0.
追问:我们之前学过哪些乘法的运算律?
预设答案:
乘法交换律:两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
乘法对加法的分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
提问:引入负数后,这些运算律是否还成立呢?
设计意图:通过复习有理数乘法的计算方法,以及之前学过的整数乘法的运算律,为接下来探究有理数乘法的运算律奠定基础.
环节二 探究新知
【做一做】
(1) 先填空,再判断下面三组算式的结果是否分别相等.
① (-6)×[4+(-9)]=(-6)×_____ = _____ .
(-6)×4+(-6)×(-9)=_____+ _____ = _____ .
② (-6)×[(-4)+9]=(-6)×_____ = _____.
(-6)×(-4)+(-6)×9=_____+ _____ = _____ .
③ (-6)×[(-4)+(-9)]=(-6)× _____ = _____.
(-6)×4+(-6)×(-9)= _____+_____ = _____ .
答案:①-5,30;-24,54,30;②5,-30;24,-54,30;③-13,78;24,54,78.
将 (1) 中的有理数换成其他有理数,各组算式的结果分别相等吗
答案:相等.
你能发现什么?
一般地,有理数的乘法满足乘法对加法的分配律:
a×(b+c)=a × b+a × c,
(b+c) ×a=b × a+c × a.
即一个有理数与两个有理数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
追问:如果是多个数相乘呢?
根据乘法对加法的分配律可推出:
a×(b+c+d )=a × b+a ×c+a × d,
(b+c +d ) ×a=b × a+c × a+d × a.
即 一个有理数同几个有理数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.
【做一做】
(1) 先填空,再判断下面两组算式的结果是否分别相等.
① (-3)× (-)=______,
(- )× (-3)=______;
② [(-2) ×3] ×(-4)=______ × (-4) =______,
(-2) ×[3×(-4) ] =(-2) ×______=______.
答案:①2,2;②-6,24;-12,24
将 (1)中的有理数换成其他有理数,各组算式的结果分别相等吗
答案:相等
由(1)(2)你能发现什么?
乘法的运算律在有理数范围内同样适用.
乘法交换律:两个有理数相乘,交换因数的位置,积不变.
乘法结合律:三个有理数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
【抽象】
由有理数的乘法交换律、乘法结合律可知,三个或三个以上的有理数相乘,可以写成这些数的连乘式.对于连乘式,可以任意交换因数的位置,也可以先把其中的几个数相乘.
由于(-1)×a+a=(-1)×a+1×a
=[(-1) +1] ×a
=0×a
=0,
因此(-1)×a 与 a 互为相反数,即(-1)×a=-a.
设计意图:通过计算并观察算式的特点,找到算式中蕴含的特点与规律.总结归纳得出乘法的运算律.
环节三 应用新知
例1 计算:
(1) (-91)×(- );
解:(1)原式= (-91)×[ +(- )]
= (-91)× + (-91)×(- )······ 乘法对加法的分配律
=-39+14
=-25.
(2) (-60)×( - - + );
原式= (-60)×[ +(- )+(- )+]
= (-60)× +(-60)×(- )+(-60)×(- )+(-60)×
=-30+20+15-12
=-7.
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
解:(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4
= (-12.5)×(-8)×(-2.5)× 4······乘法交换律
= (-12.5)×(-8)×[(-2.5)× 4]······乘法结合律
= 100×(-10)
= -1000
设计意图:通过例题,巩固乘法的运算律,培养学生的运算能力.
【观察】
观察下列各式,它们的积是正还是负?
(1) (-1)×2×3×4
(2) (-1)×(-2)×3×4
(3) (-1)×(-2)×(-3)×4
(4) (-1)×(-2)×(-3)×(-4)
(5) (-1)×(-2)×(-3)×(-4)×0
答案:(1)负;(2)正;(3)负;(4)正;(5)0
思考:几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号和负因数的个数有什么关系?有一个因数为0,积是多少?
预设:几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积的符号为负,当负因数有偶数个时,积的符号为正.
只要有一个因数为0,积就为0.
设计意图:鼓励学生通过观察实例,用自己的语言表达所发现的规律,培养学生的语言概括能力.
例2 计算:
(1) (-8)×(-1)×(-3)×4×(-5);(2) (-)×10×(-3.2)×(-5).
分析:先确定积的符号,再把所有因数的绝对值相乘.
解:(1) 原式= 8×1×3×4×5=480.
(2) 原式= -(×10×3.2×5)=-32.
设计意图:巩固有理数的乘法需先确定积的符号,再把绝对值相乘,同时培养学生的计算能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.
1.计算:
(1) 87×( ) ;
解:(1) 87×( )
=87×()+87×( )
= 15+( 58)
= 73
(2) ( 60)×( ).
解:(2) ( 60)×( )
=( 60)×+( 60)×( )+( 60)×( )
= 30+40+48
=58
2.计算:
(1) (-2)×17×(-5);(2) (-15)×(-3)×(-4)×2 .
解:(1) (-2)×17×(-5)= 2 ×17× 5= 170
(2) (-15)×(-3)×(-4)×2=- (15×3×4×2)=-360
3.直接判断下列各式计算结果的符号:
(1) (-2)×7×8;
(2) (-3)×5×(-6/7) ;
(3) × (-2.1)×(-6) ×(-3);
(4) (-3.6)×(-5)×(-4)×(-3/11) ;
(5) 4× (-8.1)×(-11)×(-14)×(-) ×(- ) .
答案:负,正,负,正,负.
4.计算:
(1) ( )×7×4 ;
(2) (-0.125)× 9× (-8);
(3) (-1.5)× (-6)× (-4);
(4) ( )×( )×( )×( 70) .
解:(1) ( )×7×4 =[ ( )×4 ]×7= 1×7= 7
(2) (-0.125)× 9× (-8)=[(-0.125)× (-8)] ×9=1×9=9
(3) (-1.5)× (-6)× (-4)=- (1.5×6×4)=- 36
(4) ( )×( )×( )×( 70) = ×××70=1/2
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.配套初中数学湘教版
第一章 有理数
1.5 有理数的乘法和除法
第3课时 有理数的除法
一、教学目标
1.理解有理数的除法法则,体会除法与乘法的关系;
2.掌握有理数除法的运算方法;
3.会求一个数的倒数,能熟练地进行有理数除法的运算;
4.通过学习有理数的除法运算,体会类比、转化的数学思想
二、教学重难点
重点:掌握有理数除法的运算方法.
难点:会求一个数的倒数,能熟练地进行有理数除法的运算.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 创设情境
你能很快说出下列算式的结果吗?
乘法:2×3=6,0×3=0;
除法:6÷2=___,6÷3=___,0÷3=___.
答案:3,2,0.
在小学,我们就知道除法是乘法的逆运算,即 a÷b=a× (b≠0 )
那它在有理数的运算中也满足吗?
设计意图:通过回顾小学的乘除法的关系,除法可以转化为乘法进行计算,引发学生思考,激发学习兴趣.
环节二 探究新知
【思考】
我们知道 2 × 3 = 6, 因此 6 ÷ 3 = 2.那么如何计算(-6)÷ 3,6 ÷(-3),(-6)÷(-3)呢?
预设:
观察上述式子,你能发现除法跟乘法的关系吗?
【抽象】
从这些式子受到启发,抽象出有理数的除法运算:
对于两个有理数 a,b,其中 b 不为 0,如果有一个有理数 c,使得 cb = a,那么规定 a÷b=c,且把 c 叫作 a 除以 b 的商.
设计意图:通过具体的实例,得到有理数乘法与除法的关系,抽象出有理数的除法运算.
【议一议】
类比有理数的乘法,从符号和绝对值两个角度观察这些算式,你能得出什么结论?
预设:同号两数相除得正数,并把它们绝对值相除.
异号两数相除得负数,并把它们绝对值相除.
0除以任何不等于0的数都得0.
【归纳】
有理数的除法法则:
同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,并把它们的绝对值相除;
0除以任何一个不等于0的数都得0.
设计意图:通过议一议,归纳得出有理数的除法法则,培养学生的总结概括能力.
环节三 应用新知
例1 计算:
(1) (-24)÷4; (2) (-18)÷(-9);
(3) 10÷(-5); (4) 0÷(-10).
解:(1) (-24)÷4=-(24÷4)=-6.
(2) (-18)÷(-9)=18÷9=2.
(3) 10÷(-5)=-(10÷5)=-2.
(4) 0÷(-10)=0.
设计意图:进一步熟悉巩固有理数的除法法则,培养学生的运算能力.
【做一做】
分别计算 10÷(-5) 与10×( ) ,它们的结果相等吗?(-10) ÷(-5) 与(-10)×( )的结果呢?
预设:
【抽象】
( 5)×( )=1
若两个有理数的乘积等于 1,则把其中一个数叫作另一个数的倒数,也称它们互为倒数.
0 没有倒数.
说出下面各数的倒数:
答案:
10÷(-5)=10×( )
上式表明,10 除以-5 等于10 乘-5 的倒数;
(-10)÷(-5)=(-10)×( )
上式表明,-10 除以-5 等于-10 乘-5 的倒数.
【归纳】
一般地,有除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数.
也可以表示为
设计意图:通过具体实例探究得到倒数的概念,并得到有理数除法的法则2.
例2 计算:
(1)( 12)÷; (2)15÷( ); (3)( )÷( ).
解:(1)( 12)÷=( 12)×3= 36;
(2)15÷( )=15×( )= 35;
(3)( )÷( )=( )×( )=.
设计意图:巩固有理数的除法法则2,先把除法转化成乘法再进行计算,同时培养学生的计算能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 计算:
(1)14÷(-7); (2)(-36)÷(-3);
(3)0÷(-0.618); (4)(-48)÷12.
解:(1) 14÷(-7)= -(14÷7) =-2 .
(2)(-36)÷(-3)= 36÷3= 12 .
(3)0÷(-0.618)= 0 .
(4)(-48)÷ 12 = -(48÷12)= -4 .
2.填空:
(1)因为( )×____= 1,所以 的倒数是____;
(2) 的倒数是____ ;-3 的倒数是____ .
答案:(1)-6,-6;(2) ,
3. 计算:
(1) (-36)÷(-0.6) ; (2)( 4)÷
解:(1) (-36)÷(-0.6)=36÷0.6= 60;
(2) ( 4)÷=( 4)×7= 28.
4. 已知 a,b,c 是有理数,当 a+b+c=0 ,abc<0 时, 的值为( )
A. 1 或 -3
B. 1 或 -1 或-3
C. -1 或 3
D. 1 或 -1 或 3 或 -3
答案:A
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.配套初中数学湘教版
第一章 有理数
1.5 有理数的乘法和除法
第4课时 有理数的乘除
一、教学目标
1. 掌握有理数的乘、除混合运算顺序;
2.能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的乘除混合运算;
3. 会运用有理数的乘、除混合运算解决简单的实际问题;
4.培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力.
二、教学重难点
重点:掌握有理数的乘、除混合运算顺序.
难点:运用有理数的乘、除混合运算解决简单的实际问题.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 创设情境
填空:
同号两数相除得_____,异号两数相除得_____,并且把_______相除;
0除以任何一个_________的数都得0;
除以一个不等于0的数等于乘这个数的______;
有理数相乘,可以先确定____的符号,再确定________的大小.
答案:正数,负数,绝对值;不等于0;倒数;积,绝对值.
设计意图:通过回顾有理数的乘除法法则,为接下来的学习做准备.
环节二 探究新知
【议一议】
下面的算式含有乘、除两种运算,怎样进行有理数的乘、除混合运算呢?
10×( 5)÷()=
可以按从左到右的顺序依次计算.
解:原式=( 50)÷()
=( 50)×( 2)
=100.
也可以先将除法转化为乘法.
解:原式=10×( 5)×( 2)=100.
【做一做】
计算:20×[( 5)÷()]
分析:有括号,先做括号内的运算.
解:20×[( 5)÷()]
=20×[( 5)×( 2)]
=20×10
=200
【归纳】
在只有有理数的乘法和除法运算时,
①如果没有括号,则按照从左到右的顺序依次计算,并可以把除法转化为乘法,然后再按照乘法法则进行计算;
②如果有括号,就先做括号内的运算.
设计意图:通过具体的实例,感受用不同的方法解决有理数的乘除运算,总结归纳乘除运算的一般方法.
环节三 应用新知
例1 计算:
(-5)×6÷(-3) ;(2) (-56) ÷(-2)÷(-8) .
分析:只有乘除运算,从左到右运算.
解:(1) (-5)×6÷(-3)=(-30) ÷(-3)=10
(2) (-56) ÷(-2)÷(-8)=28÷(-8)=
例2 计算:
(-10)÷[(-5)×(-2)]; (2) (-24)÷×() ;
(3) ÷(-) ÷() ;(4) (-)×(-)÷×(-) .
分析:(1)有括号,先算括号内的.(2)除法可以转化成乘法,再计算.
解:(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]=(-10)÷10=-1
(-24)÷×() = (-24)××() =8 .
(3) ÷(-) ÷()
=()×() ×()
=-(××)
=- .
(4) (-)×(-)÷×(-) = (-)×(-)× ×(-) =-(×××)=- .
【归纳】
乘除混合运算的步骤:
1.有括号,先算括号内的(可以先确定符号);
2.同级运算从左往右依次进行;
3.含有除法运算的,利用倒数将除法转化为乘法
注意:在计算乘法运算时,在计算时,先定符号,然后再进行绝对值的乘法计算.
设计意图:进一步熟悉巩固有理数乘除运算,总结归纳出混合运算的步骤,培养语言概括能力.
【议一议】
下面是小明同学做的一道计算题,他的计算是否正确?如果不正确,说说他错在哪里.
答案:不正确.
正确如下:(-4)÷(-8)×
=(-4)×(-)×

=
【归纳】
有理数的乘、除混合运算要把握两个关键:
预设:
(1)运算顺序:在没有统一成乘法之前,必须遵循从左到右的顺序;统一成乘法后才可以运用乘法运算律改变运算顺序.
(2)约分:统一化成分数,计算便于约分.
设计意图:明确同级运算的运算顺序不能乱,掌握关键的运算步骤.
环节四 巩固新知
教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 计算:
(1)24÷(-3)÷(-4) ; (2)(-6)÷(-2)÷3;
(3)2÷(-7)×(-4); (4) 18÷6×(-2).
解:(1)24÷(-3)÷(-4)= -8 ÷(-4)= 2;
(2)(-6)÷(-2)÷3 = 3÷3 = 1;
(3)2÷(-7)×(-4) = ( 2/7)×(-4) = 8/7;
(4)18 ÷6×(-2) = 3×(-2)= -6 .
2. 计算:
(1)(-)÷( )×
(2)(-)÷( )×( )
(3)24×( )÷( )
解:(1)(-)÷( )×=( )×( 3)×=
(2)(-)÷( )×( )=( )×( 8)×( )= 4
(3)24×( )÷( )=24×( )×( 3)=12
3. 一天,小红与小莉利用温差测量山峰的高度,小红在山顶测得温度是 -1℃,小莉此时在山脚测得温度是 5℃. 已知该地区高度每增加 100 米,气温大约降低 0.8℃,这个山峰的高度为多少 (山脚海拔 0 米)
解:依题意得
[5-(-1)]÷0.8×100
= 6÷0.8×100
= 750 (米)
答:这个山峰的高度为 750 米.
环节五 课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

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