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第三章　整式及其加减
1　代数式
第1课时　代数式的概念
1．理解代数式，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．
2．能用代数式表示简单的数量关系．
解释代数式的实际意义．
理解具体代数式的意义，能用代数式表示简单的数量关系．
活动一：创设情境　导入新课
1．思考：(1)若正方形的边长为a，则它的周长为__4a__，面积为__a2__；
(2)设n表示一个数，则它的相反数是__－n__；
(3)铅笔的单价是x元，4支铅笔要花__4x__元．
2．观察所列算式包含哪些运算？有何共同的运算特征？
活动二：实践探究　交流新知
【探究1】用字母表示图形的规律
问题1：教材P77图3－1及相关的内容．观察并填空．
(1)拼摆1个这样的正方形需要__4__根小棒；拼摆2个这样的正方形需要__7__根小棒，拼摆3个这样的正方形需要__10__根小棒；
(2)拼摆5个这样的正方形需要__16__根小棒；
(3)拼摆100个这样的正方形需要__301__根小棒；
(4)拼摆x个这样的正方形需要__(3x＋1)__根小棒．
【归纳】许多图形的变化都具有规律性，用字母表示其变化规律更简单明了．在探究图形的变化规律时，往往要找出哪些量发生变化，哪些量不发生变化．
问题2：拼摆200个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样计算的？与同伴进行交流．
解：我们用200代替3x＋1中的x，可以得到3×200＋1＝601.
【归纳】在含有字母的式子中，可以用数值代替式子中的字母．
【探究2】用字母表示数
问题3：在上面的活动中，我们借助字母描述了正方形的个数和小棒的根数之间的关系．你在以前的学习中有哪些地方用到了字母？这些字母都表示什么？
让学生通过回忆，想到前面学过的运算律，以及面积的公式等，如：ab＝ba，a＋b＋c＝a＋(b＋c)，S三角形＝ah……
【归纳】字母可以表示任何数．
【探究3】代数式的概念
问题：什么样的式子是代数式？
学生在活动里找到这些式子的共同特征．
【归纳】用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式．
注意：单独一个数或一个字母也是代数式，代数式不能带不等号或者等号．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】用含字母的式子填空：
(1)长方形的宽为4，长比宽多a，则长方形的长为__4＋a__，面积为__16＋4a__；
(2)一件衬衣的进价为a元，售价为2a元，则每件衬衣的利润为__a__元；
(3)一个数的相反数为a，则这个数是__－a__；
(4)甲、乙两地相距s km，一辆汽车每小时行驶75 km，则它从甲地到乙地的行驶时间为____h.
【方法指导】用字母表示数后，同一个字母可以表示不同的量，同一个式子可以表示不同的含义．
注意：在同一问题中，同一个字母只能表示同一个量．
【例2】用字母表示阴影部分的面积．
【方法指导】(1)图中阴影部分是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，则圆的半径是；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.
解：(1)S＝a2－π·＝a2－πa2；(2)S＝ab－4x2.
【例3】下列代数式可以表示什么？
(1)2a－b；　(2)2(a－b).
【方法指导】解释代数式的意义，可以从两个方面入手，一是从字母表示数的角度考虑；二是可以联系生活实际来举例说明．不管采用哪种方式，一定要注意运算形式和运算顺序．
解：(1)2a与b的差或a的2倍与b的差；或用a表示一本作业本的价格，用b表示一只铅笔的价格，则2a－b表示买两本作业本比买一支铅笔多的钱数；
(2)2与a－b的积；或a与b的差的2倍．
活动四：随堂练习
1．下列各式不是代数式的是(A)
A．S＝πR2　　　　　　B．1　　　　　　C．　　　　　　D．m＋n
2．“x的2倍与y的的和”用代数式表示为(B)
A．(2x＋y)× B．2x＋y C．2 D．3(2x＋y)
3．国庆节期间，李老师一家四口开车去森林公园游玩．若门票每人a元，进入园区每辆车收费30元，则李老师一家开一辆车进园区所需费用是__(4a＋30)__元．
4．教材P78随堂练习T2.
解：(1)10b＋a；
(2)100c＋10b＋a.
5．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是__n(n＋2)__．
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾代数式的概念和应用，让学生大胆发言，加深对新学知识的理解．
作业：课本P82 习题3.1中的 T1
本节课从学生了解代数式的概念到会用含字母的式子表示数量关系，培养学生爱思考、爱学习的习惯，让学生学会运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力．利用生活中的案例激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的积极性．
第2课时　列代数式及代数式求值
1．能根据数量关系列代数式，会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或一个算法．
2．能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律．
会求代数式的值并解释代数式值的实际意义．
利用代数式求值推断代数式所反映的规律．
活动一：创设情境　导入新课
一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式：儿子的身高是由父母身高的和的一半，再乘1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2.
(1)已知父亲身高a m，母亲身高b m，儿子的身高是___m__，女儿的身高是___m__．
(2)女生小红的父亲身高1.75 m，母亲身高1.62 m；男生小明的父亲身高1.70 m，母亲身高1.60 m．预测成年以后小红和小明谁个子高？
第(2)问是我们今天要学习的内容，求代数式的值．
活动二：实践探究　交流新知
【探究1】列代数式
(1)x与2的平方和；　(2)x与2的和的平方；　(3)x的平方与2的和．
问题：这三题中都有关键词“平方”和“和”，但语序不一样，列出的代数式也不一样．
解：(1)x2＋22；(2)(x＋2)2；(3)x2＋2.
【归纳】用代数式表示数量关系时，一般要将句子分层，逐层分析，一步步列出代数式．
【探究2】求代数式的值
当a＝，b＝3时，求代数式2a2＋6b－3ab的值．
分析：直接把a，b的值代入代数式求值．
解：原式＝2×＋6×3－3××3＝2×＋18－＝＋18－＝14.
【归纳】求代数式的值分两步完成：①代入；②计算.
【探究3】认识数值转换机
下面是一对“数值转换机”，写出图①的输出结果、图②的运算过程及输出结果.
输入 －2 － 0 0.26 4.5
图①的输出 －15 －6 －3 －1.44 －1 12 24
图②的输出 －30 －21 －18 －16.44 －16 －3 9
分析：(1)图①的输出结果为6x－3；(2)根据图②中输出结果6(x－3)的运算顺序，可知图②第一个问号处为－3，第二个问号处为x－3，第三个问号处为×6.
【归纳】代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】(教材P78例题)列代数式，并求值．
某景点的门票价格：成人票每张10元，学生票每张5元．
(1)一个旅游团有成人x名、学生y名，那么该旅游团应付多少门票费？
(2)如果该旅游团有37名成人、15名学生，那么他们应付多少门票费？
【方法指导】(1)把实际问题中的数量关系用代数式表示出来；(2)把x，y的值代入代数式中即可求出代数式的值．
解：(1)该旅游团应付门票费(10x＋5y)元．
(2)他们应付10×37＋5×15＝370＋75＝445(元).
【例2】填写下表并观察下列两个代数式值的变化情况．
n 1 2 3 4 5 6 7 8
5n＋6 11 16 21 26 31 36 41 46
n2 1 4 9 16 25 36 49 64
　　(1)随着n的值逐渐增大，两个代数式的值如何变化？
(2)估计一下，哪个代数式的值先超过100
【方法指导】逐个计算，填表．(1)观察表中数值，两个代数式的值逐渐变大；(2)当n＝19时，5n＋6＝101，当n＝10时，n2＝100，所以n2的值先超过100.
解：(1)随着n的值逐渐增大，两个代数式的值也相应增大；
(2)n2的值先超过100.
【例3】有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的x的值是5，则发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4……，则第2 024次输出的结果是__4__．
【方法指导】按如图所示的程序，当输入x＝5时，第1次输出5＋3＝8；当输入x＝8时，第2次输出×8＝4；当输入x＝4时，第3次输出×4＝2；当输入x＝2时，第4次输出×2＝1；当输入x＝1时，第5次输出1＋3＝4；第6次输出×4＝2，第7次输出×2＝1……不难看出，从第2次开始，其运算结果按4，2，1三个数为一周期循环出现．因为(2 024－1)÷3＝674…1，所以第2 024次输出的结果为4.
活动四：随堂练习
1．填空：
(1)已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则3(a＋b)－2cd 的值为__－2__；
(2)当a＝4，b＝2时，代数式的值为__3__．
2．如图是一数值转换机，若输入x的值为5，则输出的结果为__－21__.
3．教材P83习题3.1中的T2.
解：(1)在7%a kg～8%a kg；
(2)35×7%＝2.45(kg)，35×8%＝2.8(kg).故他的血液质量在2.45 kg～2.8 kg；
(3)略．
4．教材P83习题3.1中的T3.
解：(1)
t 0 2 4 6 8 10
h＝4.9t2 0 19.6 78.4 176.4 313.6 490
h＝0.8t2 0 3.2 12.8 28.8 51.2 80
　　(2)物体在地球上下落得快；
(3)把h＝20 m分别代入h＝4.9t2和h＝0.8t2，得t(地球)≈2 s，t(月球)＝5 s．
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：通过学习根据题意列代数式并求值，让学生大胆发言，加深对新知识的理解和应用．
作业：课本P83习题3.1中的T5，T6
这节课学生进一步理解了代数式和代数式值的概念，锻炼学生的计算能力，提高学生的兴趣，培养学生积极的情感和态度，为进一步学习奠定坚实的基础.
第3课时　整式
1．理解单项式和单项式的系数、次数的概念，会确定一个单项式的系数和次数．
2．能区分单项式、多项式及整式的联系与区别．
3．理解整式的概念，会判断一个代数式是多项式还是单项式．
会确定单项式的系数和次数，多项式的项和次数．
多项式项数、次数的确定．
活动一：创设情境　导入新课
小红和小兰的房间窗帘的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同)．现在小红和小兰想算出窗帘的装饰物的面积分别是多少？窗户能射进阳光的面积分别是多少(窗框面积不计)？要解决这些问题，我们来学习下面的内容，就会知道答案．
活动二：实践探究　交流新知
【探究】整式及有关概念
阅读教材P80～81内容，完成教材P81“尝试·思考”内容．
解：(1)ab－4c2；(2)x；(3)ab＋bc＋ac；(4)0.92a.其中(2)(4)是单项式，(2)x的系数是，次数是1，(4)0.92a的系数是0.92，次数是1；(1)(3)是多项式，(1)ab－4c2的次数是2，(3)多项式ab＋bc＋ac的次数是2.
【归纳】像5ab，5abc，3v，6p等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，如5ab的系数是5，3v的系数是3.所有字母的指数和叫作这个单项式的次数，如5ab是2次的，3v是1次的．
几个单项式的和叫作多项式，如5a＋5a＋10b，10x＋5y，4＋3(x－1)都是多项式．在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，如多项式10x＋5y是10x与5y两项的和．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．如10x＋5y是1次的，a2b＋2a是3次的．
单项式和多项式统称整式．
活动三：开放训练应用举例
【例1】如图，长方形的长为a，宽为2b.
(1)用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S；
(2)当a＝5 cm，b＝2 cm时，求阴影部分的面积S的值．(其中π取3.14)
解：(1)因为长方形的长为a，宽为2b，
所以S阴影＝2ab－πb2；
(2)当a＝5 cm，b＝2 cm时，
S阴影＝2×5×2－3.14×22＝20－3.14×4＝20－12.56＝7.44(cm2).
【例2】写出下列多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
(1)x2－3x＋5；　(2)a＋b＋c－d；　(3)－a2＋a2b＋2a2b2.
【方法指导】多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中最高的单项式的次数．
解：(1)项数是3，次数是2，是二次三项式；
(2)项数是4，次数是1，是一次四项式；
(3)项数是3，次数是4，是四次三项式．
活动四：随堂练习
1．下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
－12a2b2，，3x－4y，5a3b2－3ab＋b2，－m，x3＋y－2x.
解：单项式：－12a2b2，，－m.
多项式：3x－4y，5a3b2－3ab＋b2，x3＋y－2x.
2．单项式－am3b2的系数是__－__，次数是__6__．
3．多项式7x4－3x2＋x－10二次项的系数是__－3__，常数项是__－10__，它是__四__次__四__项．
4．如果多项式(a－4)x4－xb＋x2－3是关于x的三次多项式，求a，b的值．
解：由题意，得a－4＝0，b＝3，解得a＝4，b＝3.
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾整式的相关概念，让学生大胆发言，积极与同伴交流，进行知识的提炼与归纳．
作业：课本P84习题3.1中的T8，T9
本节课的内容是在学习了代数式的知识的基础上进行教学的．在教学过程中，利用对例题的计算和观察，引导学生总结单项式、多项式的概念，随后讲解相关的知识，最后通过练习，让学生活用所学知识．本节课以学生为主，培养学生的自主学习能力，为学生提供足够的时间和空间，使学生在轻松愉快的环境下学习．

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