资源简介

3　探索与表达规律
教师备课　素材示例
●情景导入
1．仔细观察，按规律填空：
(1)1，2，3，4，________，第n个数是________；
(2)2，4，6，8，________，第n个数是________；
(3)1，9，25，49，________，第n个数是________；
(4)1，8，27，64，125，________，第n个数是________．
2．其实在我们周围的生活中存在着大量的数字信息，希望同学们做生活的有心人．下面我们来做一个数字游戏，只要你按照我说的去做，我就可以猜出你心中所想的数，同学们信不信？
请你任意想一个数，将这个数减去1后乘以2，再减去3，然后加上5，将最后的结果告诉老师，老师就能猜出你心中想的那个数是几．
【教学与建议】教学：通过数字游戏创设问题情境，让学生有进一步探索的欲望．同时，设置情境也达到了丰富教学内容的作用．建议：设置游戏疑难让学生对该问题有探究的欲望，也有了想解开数学神秘的好奇心，更有了想往后面学习的情感储备和思维、灵感储备．
●悬念激趣　请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像如图所显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落在哪个手指上？
大拇指 食指 中指 无名指 小指
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
……
　　当学生说出数字20刚好落在无名指上后，教师继而追问：你们能很快地说出数字100落在哪个手指上吗？1 000呢？你能迅速找到规律吗？
【教学与建议】教学：通过游戏创设问题情境，同时让学生初步体验探索规律的一般方法．建议：先让学生自己独立思考，然后采用画图、列表等方法进行思考、讨论．
·命题角度1　图形中的规律探索
图形中的规律探索应先观察图形的变化趋势，用含有字母的代数式表示出来，最后用代入法求出特殊情况的数值．
【例1】用三角形、四边形和六边形按如图所示的规律拼图案，则第n个图案中的三角形有(A)
　　　　
A.(4n＋2)个 B．(4n－2)个 C．(4n＋3)个 D．(4n－3)个
【例2】观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 024个图形中共有__6_073__个五角星．
　　　　　　
·命题角度2　月历表中的规律探索
【例3】如图是某月份的月历表，现用一长方形在月历表中任意框出4个数
，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系：__a＋d＝b＋c__．
日 一 二 三 四 五 六
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
·命题角度3　数字的规律探索
探求数字间的规律的方法：(1)看是不是连续的整数、奇数或偶数；(2)探究相邻两个数的差是否存在规律；(3)探究后面的数与前面的数之间的关系．
【例4】观察下列各数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，则第n个数是(A)
A． B． C． D．
【例5】如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行第4列的数是12，则位于第45行第7列的数是__2_019__．
·命题角度4　数式的规律探索
探索数式中的规律，一般从所含代数式的系数、指数、分子、分母的规律等方面分别进行分析，注意数通常具有反映式子序号的作用．
【例6】已知a1＝3＋1，a2＝32＋2，a3＝33＋3，a4＝34＋4，…，则an＝(A)
A．3n＋n B．3n C．3n＋3 D．3＋3n
【例7】(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
52＋32__＞__2×5×3；
32＋32__＝__2×3×3；
(－3)2＋22__＞__2×(－3)×2；
(－4)2＋(－4)2__＝__2×(－4)×(－4)；
(2)观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？用一个含有字母的式子表示上述规律．
解：观察以上各式，知：a2＋b2≥2ab.
高效课堂　教学设计
1．经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程．
2．会用代数式表示简单问题中的数量关系．
探索实际问题中蕴含的关系和规律．
探索出问题中的规律．
活动一：创设情境　导入新课
日历是我们生活中接触到比较多的，日历中的数字有一定的规律，这节课我们来学习探索和表达规律．
活动二：实践探究　交流新知
【探究】图形中的规律
2024年10月的月历表如图所示．
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
　　(1)月历表的阴影色方框中的数字之间有什么关系？
结论：前后两个数字之间相差__1__，上下两个数字之间相差__7__；
(2)该图中阴影方框中9个数的和为__90__，该方框正中间的数为__10__，这9个数的和是方框正中间数的__9__倍；
(3)(2)中的关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
解法一：设最中间的数为x，则方框第一排的数为__x－8__，__x－7__，x－6，第二排的三个数依次为__x－1__，x，__x＋1__，第三排的三个数为__x＋6__，x＋7，__x＋8__．这9个数的和为__9x__，则这9个数的和是方框正中间数的__9__倍．
解法二：设方框第一排最左边的数为x，则第一排的三个数依次为x，__x＋1__，__x＋2__；第二排的三个数依次为x＋7，__x＋8__，__x＋9__；第三排的三个数依次为x＋14，__x＋15__，__x＋16__，这9个数的和是方框正中间数的__9__倍．
【归纳】找出各数量之间的相互关系，用字母表示数量，找出变化规律．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】教材P96“思考·交流”
【方法指导】通过观察，找到各数量之间的相互关系，用字母表示其中一个数量(月历表中一般选正中间数)，用含有字母的式子表示其他量，再运用整式加减的知识对所列的式子化简．
解：(1)十字形框中五个数之和是该框中正中间数的5倍，“H”形框中七个数之和是该框中正中间数的7倍；(2)略．
【例2】你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字．把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．如：若结果是93，则心里想的数是78；若结果是27，则心里想的数是12.
你知道是怎么算出来的吗？
【方法指导】把心里想的两位数的个位数字和十位数字用字母表示出来，按游戏的规则进行计算，可以发现结果总是比心里想的数大15.
解：设这个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，由题意可得(2a＋3)×5＋__b__＝__10a＋b＋15__.10a＋b＋15－(10a＋b)＝__15__．
【例3】用小木棒按如图形状搭建．
(1)填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④
小木棒数
　　(2)第n个图形需要多少根小木棒？
【方法指导】学生通过观察、探究图形的变化规律，进一步体会数形结合的数学思想方法．
解：(1)7　12　17　22　(2)7＋5×(n－1)＝5n＋2.
活动四：随堂练习
1．观察下列一组数：，，，，…，这组数的第n个数是____．
2．教材P97随堂练习．
解：59；6n－1.
3．教材P98随堂练习．
解：中间棋子数为10.理由：假设三堆棋子数都为x(x≥4，且x为整数).第一次取出棋子后，左堆棋子的数量为(x－3)，中堆棋子的数量为(x＋7)，第二次取出棋子后，中堆棋子的数量为(x＋7)－(x－3)＝x＋7－x＋3＝10.
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾探索规律的步骤和方法，让学生大胆发言，积极与同伴交流，进行知识的提炼和归纳．
作业：课本P98习题3.3中的T1，T2，T5
本节课从探索月历表中的规律，到探索数字、图形规律，培养了学生的观察、归纳、猜想、验证能力，在后面的学习中还应加强训练．

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