资源简介

3　一元一次方程的应用
第1课时　等积、等周长变形问题
1．通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题．
2．进一步体会用方程解决实际问题的一般思路和步骤．
分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题．
从实际问题中抽象出等量关系．
活动一：创设情境　导入新课
你听过这个故事吗？在1950年，业内处于领先地位的牙膏公司希望大幅度提高销售额，公司内部没有人想出奇招，外部有一个人却声称他能使销售额立马增长40%，并且售价10万美元．他的想法是：把牙膏的开口弄大一点．你知道这是为什么吗？
活动二：实践探究　交流新知
【探究】应用一元一次方程解决等体积变形问题
多媒体出示教材P147上面的内容．
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm 3.3 3
高/cm 12 x
容积/cm3 130.68π 9πx
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？
解：设新包装的高度为x cm.
根据等量关系，列出方程：
__π×3.32×12＝π×32×x__．
解这个方程，得x＝__14.52__．
因此，易拉罐的高度变为__14.52__cm.
【归纳】列方程解应用题的关键是找出问题中的等量关系．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】见教材P147例1
【方法指导】由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即2(长＋宽)＝10.在解决问题的过程中，要抓住这个等量关系．
解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为__(x＋1.4)__m.根据题意，得__2(x＋1.4)＋2x＝10__.解这个方程，得x＝__1.8__．__1.8＋1.4＝3.2__．此时长方形的长为__3.2__m，宽为__1.8__m.
(2)设此时长方形的宽为x m，则它的长为__(x＋0.8)__m.根据题意，得__2(x＋0.8)＋2x＝10__．解这个方程，得__x＝2.1__．__2.1＋0.8＝2.9__．此时长方形的长为__2.9__m，宽为__2.1__m，面积为__2.9×2.1＝6.09(m2)__，(1)中长方形的面积为__3.2×1.8＝5.76(m2)__，此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大__6.09－5.76＝0.33(m2)__．
(3)设正方形的边长为x m．根据题意，得__4x＝10__．解这个方程，得__x＝2.5__．此时正方形的边长为2.5 m．正方形的面积为__2.5×2.5＝6.25(m2)__，比(2)中长方形的面积增大__6.25－6.09＝0.16(m2)__．
【例2】如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【方法指导】根据第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出正方形的边长，即可求出一个长条的面积为多少．
解：设原来正方形纸片的边长是x cm，则第一次剪下的长条的长是x cm，宽是5 cm，第二次剪下的长条的长是(x－5)cm，宽是6 cm.根据题意，得5x＝6(x－5).解得x＝30.则30×5＝150(cm2).答：每一个长条的面积为150 cm2.
活动四：随堂练习
1．用一根铁丝围成一个边长为6 cm的等边三角形，若用这根铁丝围成一个圆，则这个圆的面积为(A)
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D．72 cm2
2．甲、乙两个圆柱形水桶的容积一样大，甲桶的底面半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25 cm，甲桶高__20_cm__，乙桶高__45_cm__．
3．教材P149随堂练习
解：设梯形的上底长为x cm.根据题意，得(x＋6＋x)×8＝88.解得x＝8.
则x＋6＝8＋6＝14.
答：梯形的上底为8 cm，下底为14 cm.
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾用一元一次方程解决等体积、等周长(面积)问题，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用．
作业：课本P154习题5.3中的T1，T3，T4
本节课是对前面所学的一元一次方程的一个应用．让数学与几何问题相结合，使学生学以致用．在课堂上，让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、计算、验证，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系，使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程．
第2课时　“盈不足”问题
1．运用列表法分析数量关系式．
2．列方程解决盈余与不足问题．
理解数量关系式，找出等量关系．
列一元一次方程解决“盈不足”问题．
活动一：创设情境　导入新课
《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．它是一本综合性的历史著作，标志着中国古代数学形成完整体系．其中在“盈不足”章第一题出现：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物体各几何？
活动二：实践探究　交流新知
【探究】多媒体出示教材P149例2上面内容
提出问题：
1．问题中的两种方案是__若每人出8钱，则会多出3钱，或若每人出7钱，则还少4钱__，两个未知量是__合伙人数和物品价格__；
2．若设合伙人数为x，则两种方案的物品价格分别是__8x－3，7x＋4__；
3.__物品价格__一定，可列方程为__8x－3＝7x＋4__，解这个方程，得x＝__7__.因此，人数为__7人__，物品价格为__53钱__．
4．如果物品价格为y，填写表格．
有关量 每人出8钱 每人出7钱
物品价格 y y
出钱总数 y＋3 y－4
人数
　　可列方程为__＝__，解这个方程，得__y＝53__．因此，物品价格为__53钱__，人数为__7人__．
【归纳】“盈不足”有两个未知量，它们在两种方案中是不变的．设其中一个量为x，分别在两种方案中用含x的代数式表示出来，然后根据相等关系列出方程．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】教材P149例2
【方法指导】设人数为x，填写表格．
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数 x x
出钱总数 400x 300x
金价 400x－3 400 300x－100
　　解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x－3 400，还可以表示为300x－100.根据等量关系，可列出方程为__400x－3_400＝300x－100__．解这个方程，得__x＝33__．
300×33－100＝9 800.
因此，人数为__33__，金价为__9_800钱__．
【例2】商店出售一商品，按原价打七五折出售时亏损25元，按原价打九折出售时盈利20元，求该商品的进价．
【方法指导】设该商品的标价为x元．根据“原价打七五折亏损25元，进价为(0.75x＋25)元，原价打九折时盈利20元，进价为(0.9x－20)元，”可得到方程为0.75x＋25＝0.9x－20.
解：设该商品的原价为x元．
根据题意，得0.75x＋25＝0.9x－20.
解这个方程，得x＝300.
所以0.75×300＋25＝250.
因此，该商品的进价为250元．
活动四：随堂练习
1．教材P150随堂练习
解：方法一：设有x个人，则银子总量为7x＋4或9x－8.
根据等量关系，可列出方程：7x＋4＝9x－8.
解这个方程，得x＝6.
7×6＋4＝46.
因此，有6个人，有46两银子．
方法二：设银子总量为y两，则人数为或.
根据等量关系，可列出方程：＝.
解这个方程，得y＝46.
＝6.
因此，有6个人，有46两银子．
2．《九章算术》中“盈不足”问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人出资买羊，每人出5文，则差45文；每人出7文，则差3文，设人数为x，则用含x的代数式表示羊价为__5x＋45__或__7x＋3__；则人数为__21__人，羊价为__150__文．
3．把一些图书分给学生阅读，如果每人分3本，那么剩余20本；如果每人分4本，那么还缺25本，这个班有多少学生？
解：设这个班有x名学生．
根据题意，可列出方程：
3x＋20＝4x－25.
解这个方程，得x＝45.
因此，这个班有学生45人．
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：利用《九章算术》“盈不足”问题导入新课，知道“盈不足”问题中两种方案间的数量关系，通过等量关系列出方程，让学生大胆发言，积极与同伴交流，领悟学习方法．
作业：课本P155习题5.3中的T6，T7
本节课从和我们的生活息息相关“盈不足”问题入手，让学生在情境中感受到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣．根据两个未知量，设其中一个量为x，另一个量用含x的代数式表示建立等量关系式，从而列方程求解，灵活运用解决实际问题，提高学生数学能力．
第3课时　相遇与追及问题
1．通过“线段图”分析追及问题中的数量关系，找出等量关系．
2．应用一元一次方程解决行程问题．
找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题．
借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系．
活动一：创设情境　导入新课
亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧．有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准．请你帮孙悟空算算：当时的风速每分钟是多少里？
活动二：实践探究　交流新知
【探究】追及问题(多媒体出示教材P151例3上面部分)
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
分析：爸爸追上小明时，两人所走的路程相等．所以本题的等量关系为：爸爸所走的路程＝小明所走的路程．在解决问题时，要抓住这个等量关系．根据题意，画出线段图如图所示：
解：设爸爸追上小明用了x min.
根据等量关系，可列出方程：__180x＝80x＋80×5__．
解这个方程，得x＝__4__．
因此，爸爸追上小明用了__4__min；
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
解：追上小明时，小明已经行走的路程为__180×4＝720(m)__，
所以此时距离学校还有1 000－__720__＝__280__(m).
【归纳】追及问题中的等量关系：快者行走的路程－慢者行走的路程＝追及路程．
活动三：开放训练　应用举例
【例1】教材P151例3
【方法指导】画图说明小明和小华跑步情形可得等量关系：(1)小明1 min先行路程＋小华起跑后小明跑步路程＝小华跑步路程；(2)小明1 min先行路程＋小华跑步路程＋小华起跑后小明跑步路程＝全路程．
解：(1)设小华用x min追上小明，根据等量关系，可列出方程：
260＋260x＝300x.
解这个方程，得x＝6.5.
因此，小华用6.5 min追上小明；
(2)设小华起跑后y min两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：
260y＋300y＝400－260.
解这个方程，得y＝0.25.
因此，小华起跑后0.25 min两人首次相遇．
【例2】一艘轮船在A，B两地之间航行，顺流用3 h，逆流航行比顺流航行多用30 min，轮船在静水中的速度为26 km/h，求水流的速度．
【方法指导】顺水中的航速＝静水中的航速＋水流速度，逆水中的航速＝静水中的航速－水流速度．
解：设水流速度为x km/h.根据题意，得3(x＋26)＝3.5(26－x)，解得x＝2.
答：水流的速度为2 km/h.
【例3】某学校七年级学生步行到郊外旅行．七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h，前队出发1 h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h.根据上面的事实提出问题并尝试去解答．
【方法指导】此例并没有提出问题， 需要学生根据已知条件提出合理的问题，再运用所学知识进行解答．学生可以提出不同的问题，然后与同伴进行交流.
解：问题：不唯一，如后队追上前队用了多长时间？
设后队追上前队需x h.
根据题意，得6x＝4x＋4×1.解得x＝2.
答：后队追上前队用了2 h．
活动四：随堂练习
1．甲的速度是5.4 km/h，乙的速度是4.6 km/h.两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，若经过3 h相遇，则A，B两地的距离是__30__km；若经过5 h还差4 km相遇，则A，B两地的距离是__54__km.
2．甲、乙两同学从学校到县城，甲每小时走3 km，乙每小时走5 km，甲先出发1 h，结果乙比甲早到1 h，则学校与县城间的距离是__15__km.
3．某船从甲码头顺流而下到乙码头，然后从乙码头逆流而上返回甲码头共用10 h，此船在静水中的速度为25 km/h，水流速度为5 km/h，求甲、乙两码头之间的航程.
解：设甲、乙两码头之间的航程为x km.
根据题意，得＋＝10.解得x＝120.
答：甲、乙两码头之间的航程是120 km.
活动五：课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
教学说明：教师引导学生回顾应用一元一次方程解决行程问题的方法，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用．
作业：课本P155习题5.3中的T8，T9
本节课从学生应用一元一次方程解决行程问题到探究开放性问题，引导学生分析问题，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，培养学生解决问题的能力，激发学生的学习兴趣．

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