资源简介

课题 复数的三角表示
日期 设计者 课时 共2课时
来源 必修二第7.3节
课型 新授课 授课对象 高一年级学生
目标确立依据 课标要求 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。
教材分析 （1）内容的本质：复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续与深化。 （2）内容蕴含的数学思想和方法：本单元的知识也蕴含了化归与转化的数学思想。如复数的三角形式和代数形式可以互相转化，复数除法运算的三角表示可以转化为复数乘法运算的三角表示，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决，某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等。本单元在研究过程中也运用了类比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类别代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的。 （3）知识的上下位关系：复数的三角表示沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，同时为学生今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础。本单元的内容在高中数学乃至大学数学课程中起着承前启后的作用。 （4）内容的育人价值：复数具有代数和几何的双重身份，主要表现在复数的三角形式的表示以及几何意义。通过本单元的学习，主要侧重数学运算和数学抽象的核心素养。 （5）本单元教学重难点：复数的三角表示，实际上是用有序数对来确定一个复数,并把它表示成的形式。复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；给予复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，由复数乘法运算的三角表示表示可以推导出复数出发运算的三角表示，因此复数的三角表示式是本单元的基础。
学情分析 （1）在知识储备上，学生前面已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，了解了复数和平面上的点以及向量的一一对应；掌握了复数代数表示式乘、除运算的运算法则，这为本单元学习复数的三角表示式奠定了基础。 （2）从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度来看学生还缺乏经验；复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和预先函数就是复数的三角表示式，所以在探究和理解复数的三角表示式上会有一定的难度。 （3）在能力基础上，学生对高中数学学习中常用的基本数学思想发放已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也了解类比是研究数学问题的一种常用方法。但在实际运用中，学生还不够熟练，往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题。在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算的几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍。
单元（课时）目标 （1）在教师引导下，通过复数的几何意义与向量的几何意义类比，能准确地用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角来表示复数的三角表示式，发展数学抽象核心素养。 （2）通过教师引导、小组合作，能在具体实例中准确地理解复数的代数表示式和复数的三角表示式的转化，发展数学运算核心素养。 （3）在教师引导、自主探究下，类比向量的数量积运算和三角恒等变换知识，能够推导出复数乘、除运算法则，发展逻辑推理和数学运算核心素养。 （4）通过自主探究、小组合作，能够理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义，发展直观想象和逻辑推理核心素养。
资源与建议 复数的三角表示虽然不作为高考考点，但是为今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础，应注重对复数的表示及几何意义的理解，避免繁琐的计算与技巧训练前提下，对于学有余力的学生，可以适当融入数学文化，体会数系扩充过程中理性思维的作用。
评价任务 （1）通过复数的几何意义与向量的几何意义类比，能准确地用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角来表示复数的三角表示式。（指向单元目标1） （2）通过教师引导、小组合作，能在具体实例中准确地理解复数的代数表示式和复数的三角表示式的转化。（指向单元目标2） （3）在教师引导、自主探究下，类比向量的数量积运算和三角恒等变换知识，能够推导出复数乘、除运算法则。（指向单元目标3） （4）通过自主探究、小组合作，能够理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义。（指向单元目标4）
第一课时
（一）课时内容
复数的三角表示式
（二）课时学习目标
（1）在教师引导下，通过复数的几何意义与向量的几何意义类比，能准确地用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角来表示复数的三角表示式，发展数学抽象核心素养。
（2）通过教师引导、小组合作，能在具体实例中准确地理解复数的代数表示式和复数的三角表示式的互化，发展数学运算核心素养。
（三）课时重难点
重点：复数三角形式的理解
难点：复数代数形式与三角形式的互化
（四）教学过程设计
课前学习
1.请根据学习的三角函数知识填写下列表格。
2.向量的模是 ，复数的模是
课中学习
1.温故知新
问题1.1 前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下他们分别是什么？
问题1.2 你能在复平面内用平面向量表示吗
问题1.3 已知平面向量,能唯一确定与之对应的复数吗？复数的表达式是什么？为什么？
2.探究复数的三角表示式
问题2.1 我们知道复数可以由向量的坐标唯一确定，向量既可以由它的坐标唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定。那么，是否能借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？
问题2.2 你认为解决了问题2.1，首先应该研究什么？
问题2.3 如何用文字语言表述角？
问题2.4 你能用向量的模，以及以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线为终边的角来表示复数吗？
问题2.5 由角的终边落在第一象限，得到的结论是否具有一般性呢？
总结：复数的三角表示式为： 。其中 是复数的模， 是复数的辐角。
问题2.6 复数是三角表示式吗？说出你的理由。
问题2.7通过观察复数的三角表示式，你能总结一下它的结构特征吗？
例1 判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式。
（1） （2）
3.探究复数的辐角问题
问题3.1 一个复数的辐角的值有几个？
问题3.2 这些辐角的值之间有什么关系呢？
问题3.3 若复数为0，它的辐角是哪个角？
问题3.4 为使任意一个非零复数有唯一确定的值作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种值在那个范围内比较合适？
问题3.5 一个非零复数辐角的主值有几个？主值的范围为多少？
4.复数的代数形式与三角形式的互化
例2 写出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式。
（1） （2）
练2 写出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式。
（1） （2）
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式。
（1） （1）
5.复数三角形式的相等
问题5.1 两个代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？
问题5.2 两个三角形式表示的非零复数相等的条件是什么？
6.课堂练习
课本P86 练习1、2、3
课后作业
1.课本P89 习题7.3 1、2、5
第二课时
（一）课时内容
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
（二）课时教学目标
（1）在教师引导、自主探究下，类比向量的数量积运算和三角恒等变换知识，能够推导出复数乘、除运算法则，发展逻辑推理和数学运算核心素养。
（2）通过自主探究、小组合作，能够理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义，发展直观想象和逻辑推理核心素养。
（三）课时重难点
重点：复数乘、除运算的三角表示
难点：复数乘、除运算三角表示几何意义的理解
（四）教学过程设计
课前学习
1.
2.已知,,则 ,
3.=
课中学习
1.探究复数三角表示式乘法运算法则及其几何意义
问题1.1 你能将课前学习中第2题中化为三角表示式吗？
问题1.2 根据复数的代数形式的乘法运算，想一想如何求问题1.1中复数三角形式的乘法？
问题1.3 如果把复数分别写成三角形式,
,你能计算并将结果表示成三角形式吗？
问题1.4 你能总结出复数三角形式乘法法则吗？
问题1.5 你能根据复数的几何意义将课前学习第2题中的和画在同一个复平面上吗？
问题1.6 结合向量相关知识，你能类比出以上复数的模和辐角之间的关系吗？
问题1.7 通过观察，你能总结出复数乘法运算的几何意义吗？
问题1.8 你能根据总结出的复数乘法运算的几何意义解释问题1.5吗？
例1 已知,,求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释。
练1 已知,,求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释。
例2 向量对应的复数为,把绕点按逆时针方向旋转120°，得到,求向量对应的复数（用代数形式表示）
练2 向量对应的复数为,把绕点按顺时针方向旋转120°，得到,求向量对应的复数（用代数形式表示）
2.探究复数三角形式除法运算及其几何意义
问题2.1 你能将课前学习第2题中化为三角形式吗？
问题2.2 复数的除法运算时乘法运算的逆运算，类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义，你能猜想问题2.1中的三角形式的几何意义吗？
问题2.3 通过上述具体问题的观察和猜想，如果把复数分别写成三角形式,,你能计算并将结果表示成三角形式吗？
问题2.4 根据上述的三角形式，你能总结出复数除法运算的几何意义吗？
例3 已知,,求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释。
练3 已知,,求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释。
3.课堂练习
课本P89 练习1、2、3
课后作业
1.课本P89 习题7.3 3、4、6、7、8

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