资源简介

5.1.1导数的概念及其意义——变化率问题
尊敬的各位评委老师，大家好！
今天我要说课的内容是“变化率问题”，接下来我将从教材和教学过程两方面进行说课。
一、教材分析
内容分析 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛应用。
本节课的学习内容是“变化率问题”，选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》第一节“导数的概念及其意义”第一课时，是一节概念课，内容较平淡、单薄，教学中很难“出新、出奇、出彩”，但本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。如何在教学中构建生动的情境，让学生在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美，使课堂充满灵动、精彩，是对教师的悟性和能力的考验。
学情分析 我现在带的是理科普通班，学生整体基础较弱，动手能力差，学习较为被动。关于“变化率问题”，学生有着一定的感知基础，比如物理上作自由落体运动的物体下落速度的变化。在备课过程中我依据班上学生的特点认真研读教材，依据课标来理解、思考和处理，在确定教学目标上，没有简单地把教学目标锁定在完成“概念”上。依据教材高台跳水问题，设计一系列探究活动，让学生亲身经历“平均变化率”如何逼近“瞬时变化率”，割线斜率如何逼近切线斜率，使学生加深对数学概念本质的理解。
基于上述分析，我确定了本节课的教学目标和教学重难点：
教学目标：
1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.
2.通过求曲线在某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.
3.理解函数的平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率数与形的统一.
重难点：
重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念(及算法)
难点：理解函数的平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率数与形的统一
二、教学过程：
1、导语
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
（通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。）
2、新知探究
问题1 高台跳水运动员的速度
高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.
如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。
例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，
在 1≤ t ≤2这段时间里，
一般地，在 ≤ t ≤这段时间里，
探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝_______.
(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．
(3)平均变化率＝ ＝ .
x2－x1；f (x2)－f (x1)；；
2.瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在________的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ .
某一时刻；
（通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。）
问题2. 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.
探究3. 你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？
与研究瞬时速度类似为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线 的变化情况。
探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线T的斜率呢？
从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线T的斜率与割线P的斜率有内在的联系，
记点P的坐标，于是割线P的斜率
+2
利用计算工具计算更多割线P的斜率的值，当无限趋近于0时，割线P的斜率有什么变化趋势？
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线P无限趋近于点处的切线，这时，割线P的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此，切线的斜率=2.
3．曲线的切线斜率
(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的_____．
(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝ .
斜率；切线 ； ；
（通过曲线上某点出割线与切线斜率的问题，加深学生对函数平均变化率与瞬时变化率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养）
3、典例解析
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　)
(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　)
(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (　　)
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成
k＝ ． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)
A．f (x0＋Δx)　　 B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
[答案]　D　
3.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
思考：
1.若f (x)＝x2，则 .
2.求函数f(x)＝ex在点(0，1)处的切线斜率.
4、小结
1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法；
2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念；
以上就是我对本节课“变化率问题”的说课内容，谢谢！

展开更多......

收起↑