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《3.1.1函数的概念》教学设计
教材分析
本节是函数章节的起始课，从“变量说”过渡到“对应说”，是学生理解函数本质、构建函数体系的基础，贯穿整个高中数学。本课以丰富的实例（运动、气象、经济等）为背景，强调函数的实际意义，突出“对应关系”的核心地位，弱化对解析式的过度依赖；强化集合语言与符号（f: A→B, y = f(x)）的规范使用，渗透数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养。
学情分析
学生在初中已学习变量、一次/二次函数、图象等概念，具备初步的函数观念，但认知停留在表象，难以抽象出“对应关系”的本质，对用集合定义函数存在理解困难，对符号`f(x)`的含义及应用不熟悉。
教学目标
1.数学抽象：通过分析具体实例，抽象出函数的共同特征，理解函数是描述变量间依赖关系的数学模型，能用集合语言定义函数。
2.逻辑推理：辨析函数概念中的“两个非空数集”、“任意性”、“唯一性”等关键要素，能判断给定对应关系是否为函数。
3.数学建模：能从实际问题中识别变量关系，初步建立函数模型。
4.数学运算/直观想象：为后续研究函数性质（定义域、值域、图象等）奠定基础。
教学重点
1.函数的概念：理解函数是建立在两个非空数集上的单值对应关系。
2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
教学难点
1.符号理解：理解符号y = f(x)中f代表对应关系，f(x)表示x对应的函数值。
2.概念本质：从“变量依赖”到“集合对应”的思维跨越，理解“任意性”和“唯一性”。
教学方法
启发式教学；探究式学习；讲练结合法；直观演示法
教学手段
多媒体课件（PPT/希沃白板）；实物投影仪（展示学生练习）
教学课时
1课时
教学过程
一、导入设计
1.情境唤醒：
展示【实例1】：某市24小时气温变化图（教材P60例1）。
提问：“你能从图中读出哪些信息？时间t（小时）变化时，气温T（℃）如何变化？对于每一个确定的时间t（如t=8），是否都有唯一确定的气温T与之对应？”
2.回顾旧知：
提问：“回忆初中函数定义（在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数）。”
追问：“这个定义强调了什么？（变量、依赖、唯一对应）”
3.引出课题：今天我们将从更一般、更精确的角度（集合的角度）来认识函数。
二、教学过程
环节1：实例探究，感知共性
任务驱动（小组合作）：
　 分发导学案，呈现三个典型实例：
【实例2】：某高铁列车运行时速v = 300 km/h，行驶时间t（小时）与路程s（公里）的关系：s = 300t。（解析式）
【实例3】：某班级学生学号（1-50）与身高h（cm）的对应表。（表格）
【实例1】：24小时气温T随时间t变化的图象。（图象）
思考问题：
1.每个例子中涉及哪些数量？哪些在变（变量）？哪个量随哪个量变化？
2.每个例子中涉及几个数集？分别是什么？
3.对于第一个数集中的每一个元素，第二个数集中是否有唯一确定的元素与之对应？如何对应？
师生共析：
引导学生回答上述问题，提炼关键词：两个非空数集（A, B）、对应关系、任意x∈A、唯一确定y∈B。
环节2：抽象定义，剖析要素
概念生成：
综合实例共性，给出严格定义：
函数：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f: A → B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y = f(x), x ∈ A。
剖析关键：
A（定义域）：自变量x的取值范围。
B（值域所在的集合）：函数值y可能的取值范围。强调B包含值域但不一定等于值域。
f（对应关系）：可以是解析式、图象、表格等。强调f是规则，f(x)是结果。
“任意性”与“唯一性”：用实例反例说明（如“身高对应体重”可能不唯一？）。
符号理解：
f: A → B：表示f是从A到B的函数。
y = f(x)：x是自变量，y是x在对应关系f下的函数值。
f(a)：当自变量x = a时对应的函数值。举例：【实例2】中f(2) = 300 * 2 = 600。
三要素初步感知：
函数由定义域A、对应关系f和值域{f(x) | x ∈ A}唯一确定。值域是B的子集。
环节3：辨析应用，巩固概念
概念辨析（判断是否为函数）：
1.(图)平面直角坐标系中，一个x值对应两个不同y值的图象。（否，违反唯一性）
2. A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}，对应关系f: 1→4, 2→4, 3→5。（是）
3. A = R, B = R，对应关系f: y = x。（否，x>0时一个x对应两个y）
4. A = {中国所有省}, B = {该省省会}，f：省 → 省会。（是，生活实例）
简单应用：
已知函数f(x) = 2x - 1, x ∈ {0, 1, 2, 3}。
求函数的定义域。（{0, 1, 2, 3}）
求f(0), f(2)的值。（-1, 3）
求函数的值域。（{-1, 1, 3, 5}）
演示：动态展示函数图象（如y=x, y=x ），强调垂线测试验证“唯一性”。
三、课堂小结
引导学生自主总结：
1.函数本质：建立在两个非空数集A, B上的单值对应关系f。
2.核心要素：定义域A、对应关系f、值域（f(A)）。
3.关键要求：A中任意x → B中唯一y = f(x)。
4.符号意义：f: A→B, y=f(x), f(a)的含义。
四、作业布置
1. 基础题（必做）：
教材P72 习题3.1：第1题（判断图象是否为函数）；第2题（求函数值/值域）。
2. 提高题（选做）：
①已知f(x) = x + 1，求f(0), f(1), f(a), f(a+1)。
②思考：函数y = x与函数y = |x|是同一个函数吗？为什么？
五、板书设计
3.1.1 函数的概念
一、函数定义
设 A, B 是非空实数集， x∈A， ! y∈B，使得 y=f(x)，
则称 f: A→B 是函数。记作: y=f(x), x∈A。
二、核心要素
1. 定义域：A (自变量x的取值范围)
2. 对应关系：f
3. 值域：{f(x) | x∈A} B
三、符号
f: A→B y=f(x) f(a) (当x=a时的函数值)

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