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教材：人教 A 版 高中数学 必修第二册 第六章
余弦定理、正弦定理应用举例
一.教材分析
1.课标解读：《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题，旨在利用三角形为载体，以余弦定理、正弦定理为工具，让学生学会发现并构建三角形，以及根据条件合理选择正弦定理、余弦定理来解三角形，培养学生运用数学的方法解决实际问题的能力.积累数学活动经验。
2.教材的作用和地位：本节课是人教A版必修第二册第六章第四节第三课时的内容，在高中数学知识体系里“余弦定理、正弦定理的应用举例”是高中数学解三角形板块的重要内容。它是在学生掌握正弦定理和余弦定理的基础上，进一步探究如何运用这些定理解决实际问题和数学问题，起到了从理论到实践的桥梁作用，对于完善学生知识体系、提升数学能力具有关键意义。
二.学情分析
（一）学生已有的认知基础
1.人教版数学8年级下册第36页，活动1：学校需要测量旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案，并与同学交流.
2.人教版数学9年级下册第54页，活动1 ：测量旗杆的高度，利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，图1显示了测量旗杆高度的几种方法，你能说出各种方法的道理吗？
3.人教版九年级下册第59页，第12题：如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和,标杆的高都是3丈，,两处相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且, 和在同一平面内.从标杆后退123步的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退127步的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上，求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少步？（提示：连接并延长交于点，用含的式子表示和.)（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算经》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何唐代的1尺约等于现在的31 .)
4.在高中阶段，学生已经初步掌握了解三角形的基础知识会用余弦定理、正弦定理解简单的三角形，初步具备了函数与建模思想。
（二）学生认知的不足和障碍
1.在解三角形方面，正余弦定理的灵活变形使用还有待加强联系。
2.在数学建模方面，如何从实际问题中抽象成数学问题，怎样构建合适的三角形模型，需要确定哪些参数，计算求解，方案设计是否合理以及误差分析等数学建模过程停留在理论水平.
三.教学目标分析
（一）目标与素养
1.了解实际问题中常用的测量术语，能用余弦定理、正弦定理解决简单的测量问题。
2.会用数学语言、方法表述和解决现实生活中的数学测量问题,培养发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力.
3.通过引导学生用多种方法解决实际测量问题,培养直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养.
（二）教学重难点
教学重点：灵活运用正、余弦定理求解三角模型中的距离、高度和角度问题.
教学难点：将实际问题抽象为数学问题，如何设计合理的测量方案.
四、教学学法分析
现代教学理念认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念。在教法上，课前通过导学案布置任务，采用任务驱动的教学方式，使学生在带着任务在探索中学习，激发他们的求知欲望，课中设置问题链进行启发式教学，调动学生学习的积极性和主动性，另外，在教学过程中，我使用多媒体环境进行辅助教学，增大了教学容量，提高了教学效率。
学法上，通过小组合作、自主探究、动手实践等学习方法，以学生活动为中心，让学生亲历知识和方法的生成过程，经历数学建模的完整过程，充分发挥学生学习的主动性，不但让学生学会，也要让学生会学。
五、教学过程
环节一 微课助学、学案导学
课前师生活动：
（1）导学案自学相关测量术语，自制简易测量工具。
（2）导学案发布任务，明确要测量的对象：一是测量校门外小河对岸不能到达 A 点与能到达 B 点的距离；二是测量学校院墙外通讯塔的（底部不可到达）高度. （提供的测量工具有测角仪和卷尺，用字母表示测量数据）
导学案 任务 1 任务 2
设计意图：课前通过导学案引导学生自学相关测量术语和制作简易测量工具，以及发布活动任务，明确测量对象，使学生有针对性的进行探讨和学习，激发学生的学习兴趣和探索精神。
环节二 复习回顾、介绍方法
在实践中，我们经常遇到测量距离、高度、角度等问题.那么解决这些问题的方法有哪些呢？师生活动：（1）回顾正余弦定理知识点.
（2）回顾数学建模一般过程.
设计意图：通过问题链的形式引导学生回忆必备知识，为学生从实际问题抽象出数学问题指明方向，也为抽象出数学模型之后的计算求解做好知识储备。
环节三 实际问题、数学建模
活动1：测量一点不能到达距离
1.实际问题、数学抽象
完成课前发布的活动1：测量不能到达点A和能到达点B之间的距离
师生活动：教师通过提问形式引导学生明确实际问题中已知哪些条件、要求解什么、还需要什么条件及如何用数学的语言描述问题.
设计意图：通过设置问题链，引导学生将实际问题抽象为数学问题，培养学生数学建模能力.突破教学重点。
2.分析问题、建立模型
师生活动：（1）学生分小组展示测量方案，包括测量方案的设计（工具、示意图）及测量过程中的问题（如限制因素）及解决方法；
（2）小组间分析讨论方案的可行性，教师检查、修正、补充，从而选择较为合理的方案.把线段AB看成三角形的一条边，构造三角形模型.
方案 1：在可到达的河岸边，找一个特殊点 C，构造 C 为直角的Rt ABC .在 Rt ABC 中，皮尺测得 BC 距离，用测角仪测得∠ABC 的大小，由锐角三角函数求得 A，B 两点间的距离.
方案 2：在可到达的河岸边选定 C 点，构造一般 ABC. 在 ABC 中，用皮尺测得 BC 距离，用测角仪测得∠ABC，∠ACB 的大小，已知两角一边是一个可解三角形.
方案 3：构造相似三角形. 构造AC = 3A′C, ∠B = ∠B′, ABC A′B′C
设计意图：从可操作性和便利性等角度分析，让学生获得较合理的方案.
确定参数、计算求解
师生活动：学生展示最合理方案的实施和求解过程，教师补充.
测量数据 计算求解
设计意图：学生分组展示方案实施的具体过程以及测量过程中遇到的问题和解决办法（限制因素），计算测量结果.
4.检验结果、优化模型
师生活动：师生对误差进行分析, 找出问题所在，进行反思归纳，并对方案进行优化.
总结：活动1解决了一个不能到达点的距离问题，建立相应的三角形模型并用正弦定理去求解.
设计意图：师生对误差进行分析,并对方案进行优化.学生经历不能到达一点距离测量的完整建模过程,培养数学建模能力,巩固解三角形知识与应用,并为不能到达两点距离测量奠定基础。
环节四 类比迁移、优化方案
活动 2：测量两点不能到达距离
任务描述：测量河对岸不可及 A 点与 D 点的距离.
师生活动：教师引导学生分析 2 点不可及问题与 1 点不可及问题的异同，发现 2 点不可及问题的解决只需要在 1 点不可及问题的基础上再构造两个三角形，利用正、余弦定理即可解决，从而设计出最终方案并计算计算求解.
方案：在 A，D 两点的对岸选定两点 B，C,用皮尺测得 BC 距离，用测角仪测得角 ,角β,角γ,角δ的大小，在△ABC 中求出 AB 的长度，在△BCD 中求出 BD 的长度，在△ABD 中已知两边一角是个可解三角形.
师生活动：1.总结两类问题：（1）一个不能到达点的距离问题；（2）两个不能到达点的距离问题.
2.总结方法：
构建或寻找三角形模型（一个或多个）；
前者的实质是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理；后者是把不可到达的两点间的距离转化为利用正弦定理和余弦定理；计算 AB 距离.
设计意图: 从不可及 1 点的长度测量类比迁移到不可及 2 点长度测量，是由解一个三角形拓展到解多个三角形，让学生的思维经历一个由浅入深的发展过程.学生利用已有知识和经验设计方案，画出示意图，把实际问题转化成解三角形问题，加深学生对实际距离测量问题的理解和认识.培养了学生数学建模、数学运算的核心素养，提高了学生解决问题的基本能力.
活动 3：测量（底部不可到达）高度的问题
完成课前发布的活动2“测量学校院墙外通讯塔的（底部不可到达）高度”.
师生活动：学生展示测量方案，师生交流对方案进行优化.
展示方案 优化后方案
设计意图：从平面上不可及两点距离测量拓展到空间不可及两点距离测量，进一步加强学生对正余弦定理应用的理解，拓展学生思维能力，发展学生核心素养.在实际操作时，使 H,G,B 三点共线不是一件容易的事情.因此师生对方案进行了优化,使高度可测、可算.
活动 4：测量不可到达角度问题
例：位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 30°，且与甲船相距 7mile 的 C 处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到 1 n mile）？
师生活动：师生共同进行关键信息的提取和文字语言、数学语言、图形语言的转换；教师示范画图并讲解具体过程.
设计意图：对不可及角度的测量问题，关键在于正确理解题意，画出示意图，此处师生合作画出图形，解决问题.
环节五 总结回顾、形成框架
本节课涉及到的知识点 本节课涉及到的思想方法
设计意图：通过提问的方式，从知识与思想两个方面回顾本节所学，形成思维导图，发展学生的核心素养.
环节六 作业布置、分层高效
基础题：教材 51 页 1-3 题；
提高题：设计一个方案测算地月距离；
拓展题：以小组为单位，就本节测量问题撰写一个 1 到 2 页的研究报告，并在班级分享.设计意图：分层设计是为了让每位同学都有获得感，增强学习动力，提高题有助于提高学生运用解三角形知识解决实际问题的能力，拓展题是对数学建模的再研究，拓展思维，让本节课的教学目标在课后继续落实.
六、板书设计

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