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第一章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
【教学内容】
函数的概念
【教材分析】
初中阶段，学生学习的是具体函数，并且关注的是变量之间的依赖关系，虽然涉及变量之间的对应，但那里的“对应”仅是自然语言，而不是数学中的对应关系，也不关注变量的变化范围.高中阶段，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要从具体问题出发，抽象概括出函数的一般概念，学会用集合与对应的语言刻画函数.
函数概念虽然抽象，但函数现象大量存在于人们周围。因此，教科书采用了从实际例子出发，让学生通过对具体问题的观察与分析，归纳函数的要素，并由此抽象出函数概念.这样做不仅可以加强学生对函数概念的理解，更重要的是培养了学生数学抽象的能力，使数学抽象素养的培养落到实处.
【学情分析】
学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。
由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。
【教学目标】
1、学生能通过观察、辨析具体实例的共同属性，抽象出用集合的语言刻画的函数的概念；
2、通过从实例中抽象概括函数概念的过程，培养数学抽象素养.
3、函数的概念及函数的三要素.
【教学重难点】
教学重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学数
学抽象素养。
教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系f.
【教学过程】
（1）引入问题
我们在初中已经学习了函数，学习了哪些函数？
追问1：回顾初中学习的函数的概念，是怎样定义的？
初中学习的函数的概念是在运动变化过程中给出来的，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。
追问2：（1）正方形的周长l与边长x的对应关系： l =4x
这个函数与正比例函数y=4x相同吗
（2）y=x 与 y= 是同一函数吗？
设计意图：通过回顾，激活学生的原有知识，了解学生在初中对函数概念的认知程度，让学生感受函数概念。
利用所学的知识，思考以下四个实例中的对应关系是函数吗？表示方法分别是什么？
实例一：某高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t (单位:h)的关系；
实例二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，一个工人每周的工资w和他工作天数d的关系；
实例三:北京市空气质量指数简称AQD变化图.这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I的关系；
实例四：国际上常用恩格尔系数（）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表格中恩格尔系数和时间（年）的关系。
时间 （年） 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
恩格尔系数（％） 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
【师生活动】教师抛出问题，请同学来判断是否是函数关系,学生的判断过程也是体会运用初中定义的过程。
设计意图：通过具体实例，带学生复习函数的概念以及函数的的表示方法，为研究函数概念做好铺垫。
（2）创设情境，形成概念
提出问题：
实例一：某高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t (单位:h)的关系为s=350t;
问题1：如果有人说:“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
问题2：你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确
【师生活动】教师提出问题让学生意识到自变量是有范围的，接着追问“某一范围”可以用什么来更为准确的描述；“变化过程”是通过什么来展现的。让学生体会怎么样用集合语言来描述函数关系。
设计意图：问题(1)是要激发认知冲突，发现其中的不严谨:让学生关注到t的变化范围，通过问题（2）带领学生一起用集合语言精确表述。本例题具有承上启下的作用：既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合的语言刻画函数概念的本质做好伏笔。
实例二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，
问题3：你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，你能将自变量w与函数值d的对应关系精确表示吗？
追问:实例一和二中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗 为什么
（不同，解析式一致，但自变量的变化范围不同，所以是两个不同函数）
总结：对于函数而言，解析式和自变量的变化范围都是确定函数的要素。
【师生活动】学生阅读题目后，自主回答，教师总结描述的顺序：首先要找到自变量的集合，再找到函数值的集合，最后找到两个集合对应关系的表示方法.再带领学生共同表述。
设计意图:问题3是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力.通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.
实例三:图1是北京市空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI变化图.
问题4：如何根据图像确定这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I 你能找到中午12时的AQI的值吗
问题5：仿照实例一二，请用集合的语言精确表示自变量t和函数值I的对应关系。
追问：对于数集={t|10≤t≤24}中的任意一个值t，你会用什么方法寻找此时对应的I值
【师生活动】给学生适当时间阅读思考.请学生回答上述问题4，发现图像上只能得到I的估计值，从而在问题5中描述空气质量指数I的集合时，根据图像不能确定一个准确范围，产生认知冲突，设置悬念，激起学生的好奇心。
在追问的基础上，教师闸释:因为对于数集={t|10≤t≤24}中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C，那么从图中可以确定，C={I |0总结：当函数值的取值范围不能完全确定时，可以引入一个较大范围的集合，使函数值落入其中，所以函数值的集合C是的子集。
设计意图:问题(1)让学生会看图，并且发现每一个空气质量指数I的准确值不能确定。根据图象描述对应关系有困难，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的。通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点，只要学生能够理解了是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了。
实例四：国际上常用恩格尔系数（）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表给出我国城镇居民恩格尔系数变化情况。
时间 （年） 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
恩格尔系数（％） 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
问题6：请用集合的语言描述时间t和恩格尔系数r的取值情况。
追问1：我们该如何记录这个对应关系呢？
追问2：将写成你认为有可以吗？为什么？
【师生活动】经过学生思考、提出意见后统一认识：用表格记录这个对应关系。加强前面问题3中函数值的集合C是的子集的认识。
设计意图：本例题从生活中的经济问题出发，通过学生思考、探索，进一步认识到对应关系也可以用表格来记录。
问题7：分析这三个实例，它们有哪些共同特征？由此概况出函数的本质特征。
共同特征：①都有两个非空数集A，B；
②两个数集之间都有一种确定的对应关系；
③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.
【师生活动】让学生分组讨论，归纳总计，提炼函数的共同特征，对函数的概念达成共识。
设计意图：从特殊到一般，归纳得出三个案例的共同属性：对集合的每一个数，在集合中都有唯一确定的一个数与它对应，即集合到集合有一种对应。比较三个案例，体会用解析式、图像、表格刻画变量之间的对应关系，让学生感受从本质上本节课学习的函数概念和初中函数的概念是一致的，但初中是用两个变量间的依赖关系描述函数，而高中是用两个集合元素之间的对应关系来描述函数概念，让学生体验数学发现和创造的历程。这样做，不仅符合学生的认知规律，而且符合“先过程后对象”的认知顺序。
◆建立函数概念：
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
设计意图：数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力。
质疑解惑，剖析概念
问题8：那么我们这节课学习的函数的概念是一个整体中，由哪些部分组成？
总结：函数构成三要素：定义域、对应关系、值域
设计意图：由学生指出概念中的关键词，说出三个案例的具体函数值，从抽象到具体，从一般到特殊，挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数概念的本质的理解情况。
我们用集合语言和对应关系刻画了函数，请用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数.
【师生活动】让学生完成填表，并用集合和对应的的语言描述反比例函数。
设计意图：让学生填表，引导学生用新定义重新认识已学的函数，加深对函数概念的理解。
问题9：那么你现在能回答我们一开始提出的问题了吗？
正方形的周长l与边长x的对应关系： l =4x
这个函数与正比例函数y=4x相同吗
y=x 与 y= 是同一函数吗？
设计意图：学生用新定义重新认识已学的函数，加深对函数概念的理解。
例1 判断下列式子能否表示y是x的函数.
②
③
④
练习 下列图象具有函数关系的是_____和_____.
(
1
o
x
y
) (
E
)
【师生活动】由学生独立完成，加深对函数概念的理解。
设计意图：让学生完成，既加深对函数概念的理解又检验了本节课的上课效果。
（4）总结反思，提高认识
今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，回顾一下本节课我们共同学习了哪些知识？
课堂小结：（1）什么是函数？其三要素是什么？
（2）対于对应关系 f 你有哪些认识？
（3）与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识？
设计意图：由学生完成总结和提升，巩固函数概念，加深学生对概念的理解。
（5）作业设计：
教材63页练习第1题，64页第2,3题。

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