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【高效学习】 认识不等式和不等式的性质 同步讲义
知识点01 不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
【即学即练】
1．年月日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 不等式的解集
不等式的解集
不等式的解集
①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
②用数轴表示不等式解集
解集x> 4在数轴上表示为
解集x≥ 4在数轴上表示为
解集 x < 4 在数轴上表示为
解集 x ≤在数轴上表示为
【即学即练】
1．如图，数轴上表示的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 不等式的性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果，那么
如果，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
【即学即练】
1．若，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
题型01 不等式的定义
【典例1】在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】下列选项中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 在数轴上表示不等式的解集
【典例2】不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，数轴上表示的解集为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图，数轴上表示的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型03 不等式的性质
【典例3】若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型04 不等式的解集
【典例4】关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】下列各数中，是不等式 x＞1的解的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【变式2】下列实数中，能够满足不等式的正整数是（ ）
A．-2 B．3 C．4 D．2
【变式3】下面说法正确的是( )
A．x=3是不等式2x＞3的一个解 B．x=3是不等式2x＞3的解集
C．x=3是不等式2x＞3的唯一解 D．x=3不是不等式2x＞3的解
一、单选题
1．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ）
A． B． C． D．
2．当时，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则下列式子不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．下列式子①，②，③，④中，不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．与的差大于5，用不等式表示为 ．
11．语句“与的和是非负数”用不等式表示为： ．
12．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
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【高效学习】 认识不等式和不等式的性质 同步讲义
知识点01 不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
【即学即练】
1．年月日是我国二十四节气中的夏至，深圳当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．
根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案．
【详解】解：深圳当天最高气温是，最低气温，因此气温的变化范围应满足最低气温最高气温，即，
故选：D．
知识点02 不等式的解集
不等式的解集
不等式的解集
①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
②用数轴表示不等式解集
解集x> 4在数轴上表示为
解集x≥ 4在数轴上表示为
解集 x < 4 在数轴上表示为
解集 x ≤在数轴上表示为
【即学即练】
1．如图，数轴上表示的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据数轴确定不等式的解集，关键是要牢记数轴上表示不等式解集的规则：大于向右画，小于向左画，实心点表示包含该点，空心点表示不包含该点．本题可根据数轴上表示不等式解集的规则来确定的取值范围．
【详解】解：数轴上表示的点是实心点数轴上的线向右延伸，
根据数轴表示不等式解集的规则，
所以大于等于，即．
故选：D．
2．不等式的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确空心圈和实心点的区别．
根据不等式的意义和特殊点的表示方式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴在数轴上取左边的部分，且在的位置为实心点，
故选：C．
知识点03 不等式的性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果，那么
如果，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
【即学即练】
1．若，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质是解题的关键．
根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变； 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向，逐一判断各选项是否成立．
【详解】A．在不等式的两边同时乘以正数2，不等号方向不变，应得，但选项为，显然不成立，故该选项符合题意；
B．在不等式的两边同时除以正数3，不等号方向不变，应得，与选项B一致，成立，故该选项不符合题意；
C．在不等式的两边同时加5，不等号方向不变，应得，与选项C一致，成立，故该选项不符合题意；
D．在不等式的两边同时乘以负数，不等号方向改变，应得，与选项D一致，成立，故该选项不符合题意；
故选：A．
题型01 不等式的定义
【典例1】在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义，
根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件．
【详解】解：① 使用了“<”，是不等式；
② 使用了“>”，是不等式；
③ 是等式，不是不等式；
④ 是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤ 使用了“≥”，是不等式．
故选：B．
【变式1】下列选项中，不是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义：用不等号（如、、、、）连接的式子是不等式，判断各选项是否含有不等号．
【分析】解：A：，含不等号，是不等式．
B：，仅为多项式，不含任何不等号，不是不等式．
C：，含不等号，是不等式．
D：，含不等号，是不等式．
故选：B
【变式2】小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等号的理解，根据“限载”表示物体总质量不超过，即可作答．
【详解】解：“限载”表示物体总质量不超过，
若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则，
故选：B．
题型02 在数轴上表示不等式的解集
【典例2】不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案．
【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示：
，
故选：C．
【变式1】如图，数轴上表示的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，牢固掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．解题时，结合图像依据：“空心圆圈向右表示大于，空心圆圈向左表示小于；实心圆圈向右表示大于或等于，实心圆圈向左表示小于或等于”，结合图像可得出答案．
【详解】解：数轴上点1处实心圆圈向右，
由此可得：
．
故选：B ．
【变式2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示，依次判断各选项即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，数轴上表示的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了在数轴上的表示不等式的解集，实心圆点向左表示小于等于，结合图象可得出答案，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由数轴上点处实心圆点，向左表示小于等于，
∴数轴上表示的解集是：，
故选：．
题型03 不等式的性质
【典例3】若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可．
【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意；
B、若，则，故该选项符合题意；
C、若，则，故该选项不符合题意；
D、若，则，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．
根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立．
【详解】解：1. 选项A：由，两边同乘正数3，不等号方向不变，得，正确，不符合题意；
2. 选项B：原式可变形为，两边同乘，不等号方向改变，得，与已知条件一致，正确，不符合题意；
3. 选项C：由，两边加1得，正确，不符合题意；
4. 选项D：由，两边除以时不等号方向改变，得。但题目中的范围是，当时（如），不小于，故D不成立，符合题意；
故选：D．
【变式2】若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．不等式性质：①不等式两边同时加上（减去）同一个数，不等号方向不变；②不等式两边同时乘以（除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边同时乘以（除以）同一个负数，不等号方向改变；由不等式的基本性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、两边同时加2，不等式方向不变，故成立，符合题意；
B、两边乘以得，再加2得，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意；
C、两边乘以正数2，不等式方向不变，为，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意；
D、两边乘以负数，不等式方向改变，为，与选项中矛盾，故选项不成立，不符合题意；
故选：A．
【变式3】若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可．
【详解】解：选项A：两边同乘正数2，不等号方向不变，应为，故选项A错误．
选项B：两边同减1，不等号方向不变，结论正确．
选项C：两边同加2，不等号方向不变，结论正确．
选项D：两边同乘负数，不等号方向改变，变为，结论正确．
综上，错误的结论是A．
故选：A．
题型04 不等式的解集
【典例4】关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键．
根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围．
【详解】解：原不等式为解集为，
∴且，
∴．
故选：A．
【变式1】下列各数中，是不等式 x＞1的解的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据不等式的解，可得答案．
【详解】解：∵3>1，
∴3是不等式x>1的解，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集是解题关键．
【变式2】下列实数中，能够满足不等式的正整数是（ ）
A．-2 B．3 C．4 D．2
【答案】D
【分析】将各项代入，满足条件的即可.
【详解】A选项，-2不是正整数，不符合题意；
B选项，，不符合题意；
C选项，，不符合题意；
D选项，，符合题意；
故选：D.
【点睛】此题主要考查不等式的正整数解，熟练掌握，即可解题.
【变式3】下面说法正确的是( )
A．x=3是不等式2x＞3的一个解 B．x=3是不等式2x＞3的解集
C．x=3是不等式2x＞3的唯一解 D．x=3不是不等式2x＞3的解
【答案】A
【分析】先解出不等式的解集，判断各个选项是否在解集内就可以进行判断．
【详解】解不等式2x＞3的解集是x＞，
A. x＝3是不等式2x＞3的一个解正确；
B. x＝3不是不等式2x＞3的全部解，因此不是不等式的解集，故错误；
C. 错误；不等式的解有无数个；
D. 错误.
故答案为A.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
一、单选题
1．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键．
根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可．
【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域；
B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域；
C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域；
D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域；
故选：A．
2．当时，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案．
【详解】解：A、时，，故不符合题意；
B、时，，故不符合题意；
C、时，，故不符合题意；
D、时，，故符合题意；
故选：D．
3．根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论．
【详解】解：由图可知，，
故选：B．
4．当时，下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．将代入各选项的不等式，逐一验证是否成立即可．
【详解】解：A、代入，左边为，不成立，故不符合题意；
B、代入，左边为，成立，故符合题意；
C、代入，左边为，不成立，故不符合题意；
D、代入，左边为，不成立，故不符合题意；
故选：B．
5．若，则下列式子不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，加减同一个数或乘除正数不改变不等式方向，乘除负数需反转方向．
【详解】解：，
，，，，
故选项A．B．C正确不符合题意，选项D不正确，符合题意；
故选：D．
6．已知：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如），统计符合的个数即可求解；
【详解】解：①是等式，不含不等号，不属于不等式；
②含有，属于不等式；
③是多项式，不含不等号或等号，不属于不等式；
④含有，属于不等式；
⑤含有，属于不等式；
综上，属于不等式的有②、④、⑤，共3个；
故选：B
7.如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此即可得出，解一元一次不等式求出的范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
故选：D．
8．下列式子①，②，③，④中，不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的识别，解题关键是理解不等式的概念．
根据不等式的概念对四个式子逐一分析作出判断．
【详解】解：是不等式，故①符合；不是不等式，故②不符合；是不等式，故③符合；是多项式，不是不等式，故④不符合，共有2个不等式，
故选：B．
9．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可．
【详解】解：根据图示，可得，
∴．
故选：C．
二、填空题
10．与的差大于5，用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出不等式，直接利用x减去y再大于5即可得出答案．正确理解题意是解题关键．
【详解】解∶根据题意，得，
故答案为∶ ．
11．语句“与的和是非负数”用不等式表示为： ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键．根据和运算、非负数的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得．
【详解】解：由题意得：．
故答案为：．
12．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可．
【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于，
故用不等式表示为，
故答案为：．
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