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【高效学习】 一元一次不等式组 同步讲义
知识点01 一元一次不等式组的定义
一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。
【即学即练】
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
知识点02 一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组的解集
【即学即练】
1．不等式组在数轴上表示为：，这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式组的解集，根据数轴表示得到两个解集的公共部分解答即可.
【详解】解：不等式组的解集为，
故选：D.
知识点03 解一元一次不等式组
解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
【即学即练】
1．解不等式组：，并写出其整数解．
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组以及其整数解；根据解不等式的步骤分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后得出其整数解即可．
【详解】解：
，
，
，
；
∴不等式组的解集为：；
其整数解为：．
知识点04 一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
【即学即练】
1．某公司为响应垃圾分类政策，计划采购两种分类垃圾桶．已知购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需元；购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需元．
(1)求两种垃圾桶的单价分别是多少元？
(2)若该公司需购买两种垃圾桶共个，总费用不超过元，且型垃圾桶数量不少于型垃圾桶数量的一半．共有几种采购方案？哪种采购方案费用最低？
【答案】(1)每个型垃圾桶的单价为元，每个型垃圾桶的单价为元
(2)共有三种购买方案：方案一：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个 ；方案二：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个；方案三：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个；方案三最省钱
【分析】（）设每个型垃圾桶的单价为元，每个型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解；
（）设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，根据题意列出不等式组求出的取值范围可得采购方案，进而求出每种方案的费用即可判断求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设每个型垃圾桶的单价为元，每个型垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得
答：每个型垃圾桶的单价为元，每个型垃圾桶的单价为元；
（2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴可以取，
∴共有三种购买方案：
方案一：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个；
方案二：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个；
方案三：购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个；
方案一的费用为元；
方案二的费用为元；
方案三的费用为元；
∵，
∴方案三最省钱，即购买型垃圾桶个，购买型垃圾桶个．
题型01 一元一次不等式组的定义
【典例1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意；
B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意；
C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意；
D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：是一元一次不等式组．
故选：B．
【变式2】下列是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义；
B、符合一元一次不等式组的定义；
C、含有等式，不符合一元一次不等式组定义；
D、含有等式，且有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义；
故选：B．
题型02 求不等式组的解集
【典例2】解不等式： ，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：由得：，
解得：，
由得：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
不等式组的解集为：．
【变式1】解不等式组，并把不等式和的解集在数轴上表示出来．
【答案】，见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
把不等式和的解集在数轴上表示出来，如图所示：
【变式2】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析．
【分析】本题主要考查求不等式组的解集，把解集表示在数轴，根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上，结合数轴，公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
，
解得，，
由②得：，
，
，
解得，，
所以不等式组的解集为：．
解集在数轴上表示如下：
【变式3】解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题主要考查求不等式组的解集，把解集表示在数轴，根据不等式的性质分别求解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式组，
解第一个不等式：，
，
，
，
解第二个不等式：，
，
，
，
∴不等式组的解集为，
数轴表示：
题型03 求一元一次不等式组的整数解
【典例3】解不等式组，并把解集表示在数轴上，写出所有的整数解．
【答案】，数轴表示见解析，整数解是1，2
【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示不等式组的解集为：
故不等式组的整数解是1，2．
【变式1】解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，1
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后写出不等式组的正整数解即可．
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
∴不等式组的正整数解为：；
【变式2】解不等式组：，并写出它的非负整数解．
【答案】，非负整数解为0，1．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，再确定不等式的非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【变式3】解不等式组并写出该不等式组的所有整数解．
【答案】，整数解为，，，．
【分析】本题主要考查了解不等式组，分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在解集中确定所有整数解即可，解题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
∴该不等式组的所有整数解为，，，．
题型04 由一元一次不等式组的解集求参数
【典例4】若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握解一元 一次不等式组，是解题的关键．
先求出不等式组中每个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围．
【详解】解：解第一个不等式，
得．
解第二个不等式，
移项得，
两边除以（不等号方向改变），
得．
∴不等式组的解集为．
∵题目要求恰好有3个整数解，
∴整数解为4、5、6．
当时，解集为，整数解为4、5、6，符合条件．
当接近7但小于7时（如），解集为，整数解仍为4、5、6．
若，解集包含整数7，导致整数解超过3个，不符合条件．
∴的取值范围是．
应选项B．
【变式1】若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据不等式解集的情况求参数，首先分别解两个不等式，再根据不等式组无解的条件确定参数的范围．
【详解】解：
移项得：，
解得：；
移项得：，
两边乘以（不等号方向改变）：．
分情况讨论：
当时，两边除以得：．
要使不等式组无解，需满足与无交集，即．
解得：；
当时，两边除以（不等号方向改变）得：．
此时与必有交集（例如时，解集为，包含），故不等式组有解，不满足条件．
当时，原不等式变为，恒成立，此时第二个不等式解集为全体实数，与有解，不满足条件．
综上，当且仅当时，不等式组无解，
故选：A．
【变式2】若关于x的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可求解，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：
解不等式得，，
∵不等式组的有且只有个整数解，
∴，
解得，
故选：．
【变式3】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．>4 D．<4
【答案】B
【分析】本题考查了解不等式组，运用“大大取大”来确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，结合解集是，即可作答．
【详解】解：∵，
∴由得，
∴，
解得，
∵关于x的不等式组的解集是，
∴，
故选：B．
题型05 不等式组和方程组结合的问题
【典例5】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式，
将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可．
【详解】解：
由得：，
∵，
∴，
解得：
故选C．
【变式1】关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题．
求出，根据计算即可．
【详解】解：
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式2】若方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可．
【详解】解：解方程组
得，，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式3】已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加：
，
将方程两边同时除以4：
，
，
．
故答案为：．
题型06 不等式组的经济问题
【典例6】初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元．
(1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？
(2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？
【答案】(1)20元；25元
(2)3种；方案见解析
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元，根据购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元，再建立方程组解题即可；
（2）设购买《我们仨》本，购买《围城》本，根据计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元，
由题意得：，
解得：．
答：购买一本《我们仨》需元，购买一本《围城》需元．
（2）解：设购买《我们仨》本，购买《围城》本，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的值为、、，
∴有种购买方案：
①购买《我们仨》本，购买《围城》本；
②购买《我们仨》本，购买《围城》本；
③购买《我们仨》本，购买《围城》本．
【变式1】【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2 设计销售方案 求所有的销售方案；
任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件；
任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键．
任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可；
任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案．
【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得
答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得．
因为为整数，所以．故有三种销售方案：
方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；
方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；
方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件．
任务3：方案1获利：（元）；
方案2获利：（元）；
方案3获利：（元）．
因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元．
【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？
【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
(2)共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可；
（2）设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆，根据购车资金不超过380万元，购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元，
依题意得：，
解得：，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆．
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴m的值为3或4或5；
∴共有三种购买方案，利润为万元
当时，利润为万元；
当时，利润为万元；
当时，利润为万元；
答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高．
【变式3】青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？
【答案】(1)甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元
(2)甲种书柜至少购买10个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
（1）根据若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元列方程组，即可求解；
（2）根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元列出不等式组即可求解．
【详解】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元．
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：，
解之得：，
所以甲种书柜至少购买10个．
题型07 不等式组的分配问题
【典例7】养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可．
【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，
由题意得，，
解得，
答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克．
【变式1】八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】不到8棵意思是植树棵数在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵数位同学植树的棵树，植树的总棵数位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．
【详解】解：植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为，
有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：，
即．
故选：B．
【变式3】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本．
【答案】23或26
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案．
【详解】解：设共有名同学，则图书共有本，
由题意得，
解得：，
又为正整数，
或，
当时，，
当时，，
则这些图书有或本．
故答案为：23或26．
题型08 不等式组的方案选择问题
【典例8】为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
(1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？
【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元
(2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程组和数量关系列出不等式组是解题的关键．
（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）购买跳绳m根，则购买毽子个，根据购买的总费用不超过300元，购买跳绳的数量多于25根，列出一元一次不等式组，解得，则，27，28，分别计算每种方案的费用，即可解决问题．
【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元；
（2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，27，28，
有三种购买方案：
①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元；
②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元；
③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元；
，
方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个．
【变式1】高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯．”为提高学生的阅读水平，某中学购买了《时间简史》和《寂静的春天》两种图书．若购买15本《时间简史》和10本《寂静的春天》，则需花费460元；若购买30本《时间简史》和40本《寂静的春天》，则需花费1240元．
(1)《时间简史》和《寂静的春天》两种图书的单价分别是多少元？
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本，这次购买的总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)《时间简史》的单价是20元，《寂静的春天》的单价是16元
(2)学校有以下3种购买方案：
①购买《时间简史》48本，《寂静的春天》52本；
②购买《时间简史》49本，《寂静的春天》51本；
③购买《时间简史》50本，《寂静的春天》50本．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、不等式组的应用，解答本题关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
（1）本题是典型的二元一次方程组应用问题，关键在于从题目中找到两个等量关系，设出未知数后列出方程组求解。核心是利用“购买数量×单价 = 总价”的基本关系，构建方程模型解决实际价格问题．
（2）本题属于不等式组的应用，需先设出购买其中一种图书的数量，用总数表示出另一种图书数量，再根据总费用的范围列出不等式组，求解整数解得到购买方案。核心是依据“总费用 = 单价×数量”，结合费用限制条件，确定符合实际的购买数量组合．
【详解】解：（1）设《时间简史》的单价是元，《寂静的春天》的单价是元．
根据题意，得
解得
答：《时间简史》的单价是20元，《寂静的春天》的单价是16元．
（2）设购买《寂静的春天》本，则购买《时间简史》本．
根据题意，得
解得．
因为是正整数，所以．
所以学校有以下3种购买方案：
①购买《时间简史》48本，《寂静的春天》52本；
②购买《时间简史》49本，《寂静的春天》51本；
③购买《时间简史》50本，《寂静的春天》50本．
【变式2】项目式学习：
【项目主题】
选择最省钱的租车方案．
【项目背景】
某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动．
【数据收集】
①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元．
②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位．
③下表是该公司租车记录单上的部分信息：
租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元
2 3 3100
1 2 1900
【问题解决】
利用以上数据解决下列问题：
(1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？
(2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案．
【答案】(1)500元，700元
(2)方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆；方案二更省钱
【分析】（1）设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆．
根据交通费用支出预算不超过7400元，以及每个师生都有座位列出关于m的不等式组，求出m的范围，再结合m为正整数，求出m 的值，即可得由几种方案，再求出每种方案所需费用，即可找出最省钱的方案．
【详解】（1）解：设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元，
根据题意，得，
解得．
答：A，B两种客车每辆的租金分别是500元，700元．
（2）解：设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆．
根据题意，得，
解得．
为正整数，
的取值为5或6．
共有两种符合条件的租车方案：
方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆，费用为（元）；
方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆，费用为（元），
，
方案二更省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，认真审题，找准等量关系和不等量关系是解题的关键．
【变式3】为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买台型设备和台型设备共用万元，购买台型设备和台型设备共用万元．
设备型号 型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
(1)求的值．
(2)经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过万元，若每月要求处理污水量不低于吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金．
【答案】(1)，
(2)购买型设备台，型设备台，所需的购买资金为万元
【分析】（）根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（）设购买型设备台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而得到的值，可得购买方案，求出每一种购买方案的资金，再比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
即，；
（2）解：设购买型设备台，则购买型设备台，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或，
当时，购买资金为万元；
当时，购买资金为万元；
∵，
∴为了结约资金，应购买型设备台，型设备台，所需的购买资金为万元．
题型09 一元一次不等式组的其他应用
【典例9】某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入3900热量和60蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于100，且总热量不超过7000．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案．
【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包
(2)共有4种配餐方案，方案见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键；
（1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据“要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于,且总热量不超过”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案．
【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品3包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，3，4，
∴共有4种配餐方案，
方案1：选用A种食品1包，B种食品7包；
方案2：选用A种食品2包，B种食品6包；
方案3：选用A种食品3包，B种食品5包；
方案4：选用A种食品4包，B种食品4包．
【变式1】数学活动
数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？
(3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】(1)
(2)该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车
(3)共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次，见解析
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据（1）中式子先求出一列长度为的购物车列包含多少辆购物车，然后进一步计算即可；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放是长，
故答案为：；
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车，
因此由（1）可得，
解得，
（辆），
答：该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车；
（3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输14辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，5，6，
共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次．
【变式2】【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在．
素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积．
【问题解决】
(1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失）
(2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数）
(3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？
【答案】(1)小康接温水，开水
(2)6
(3)
【分析】（1）设小康接温水，则接开水，根据混合后温水的温度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即小康接温水的体积），再将其代入中，即可求出小康接开水的体积；
（2）设小康一天喝杯水，根据成年人每天需喝水，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论；
（3）设小康同学接温水，根据混合后的温度不超过，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小康接温水，则接开水，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小康接温水，开水；
（2）解：小康一天喝杯水，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
，
小康一天喝6杯水．
故答案为：6；
（3）解：设小康同学接温水，
根据题意，得：，解得：，
的最小值为13.5．
答：小康至少要接温水才能达到饮水的适宜温度．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
一、单选题
1．不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．求出每个不等式的解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
故选：C．
2．已知不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组有解的条件；
根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可．
【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足，
当时，解集为，存在解；
当时，和无公共部分，无解；
因此，的取值范围是，
故选：A．
3．已知点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和坐标系内点的坐标特征，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据点在坐标系中位置得关于的不等式组，解不等式组求得m的范围即可．
【详解】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为： ，
故选：A ．
4．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式组的解集，由不等式组解集的情况求参数．首先解不等式组，确定解集范围，再根据整数解的个数确定参数a的取值范围，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴
即关于的不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的整数解共有4个，
∴可能的整数解为
∴的取值范围是，
故选：A
5.如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据水是否溢出的情况列出不等式组．
根据5个玻璃球放入水未满，列出；根据6个玻璃球放入水满溢出，列出；解不等式组，得出V的取值范围．
【详解】放入5个时水未满，即，解得；
放入6个时水满溢出，即，解得．
∴V的取值范围为，
故答案为：．
6.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
，
解得：，
故选：D．
二、填空题
7．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
【答案】①②④
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解．
【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，
⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，
所以③⑤都不是一元一次不等式组．
故答案为：①②④．
8．不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查的是含参数的一元一次不等式组，掌握解集的取法：“同大取大”是解决此题的关键．
根据解集的取法：“同大取大”即可列出关于m的不等式，从而求出结论．
【详解】解：，
解不等式①得： ，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：．
故答案为：
9．不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的解集，根据不等式组解集的定义，找出两个不等式的解集的公共部分即可．
【详解】解：不等式组的解集为
故答案为： ．
10．如图，表示三个不同的物体，用天平比较结果．若，（单位：），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的应用，
根据图示，用天平表示的大小关系列出关于a，b，c的不等式，求不等式组的解集，可得答案．
【详解】解： ∵，，
由天平比较的结果可得，
解得：．
故答案为：．
11．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解．
【详解】解：设有间宿舍．
根据题意，得：，
解得：，
因为为正整数，
当时，人数为；
当时，人数为；
当时，人数为；
因为该班男生不足人，
所以该班的男生人数是人，
故答案为：．
三、解答题
12．（1）解不等式；
（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）；（2），把不等式组的解集表示在数轴上，见解答．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式和不等式组的解集，正确求出不等式和不等式组的解集是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】(1)
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得；
（2）
解不等式得，
解不等式得
不等式组的解集为．
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
．
13．昆明作为历史文化名城，为了弘扬云南少数民族文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如下表：
傣锦（套） 乌铜走银工艺品（件） 总费用（元）
展馆1 3 4 1440
展馆2 5 2 1000
(1)求傣锦每套和乌铜走银工艺品每件各是多少元；
(2)景区准备再采购傣锦和乌铜走银工艺品共20件，总费用不超过3360元，且采购乌铜走银工艺品的数量不少于傣锦的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来．
【答案】(1)傣锦每套80元，乌铜走银工艺品每件300元
(2)共有4套方案：购买傣锦12件，乌铜走银工艺品8件；购买傣锦13件，乌铜走银工艺品7件；购买傣锦14件，乌铜走银工艺品6件；购买傣锦15件，乌铜走银工艺品5件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键；
（1）设傣锦每套x元，乌铜走银工艺品每件y元，根据等量关系列二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买傣锦m件，则购买乌铜走银工艺件，根据不等关系列一元一次不等式组，求出不等式组的整数解即可．
【详解】（1）解：设傣锦每套x元，乌铜走银工艺品每件y元，
由题意得，
解得，
即傣锦每套80元，乌铜走银工艺品每件300元；
（2）解：设购买傣锦m件，则购买乌铜走银工艺品件，
由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴m的值为：12，13，14，15，
可得共有4套方案：
方案一：购买傣锦12件，乌铜走银工艺品8件；
方案二：购买傣锦13件，乌铜走银工艺品7件；
方案三：购买傣锦14件，乌铜走银工艺品6件；
方案四：购买傣锦15件，乌铜走银工艺品5件．
14．某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜4个、乙种书柜5个，共需资金1740元；若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需资金1240元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共35个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6800元，请设计所有可行的购买方案供学校选择．
【答案】(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是160元，220元
(2)所有可行的购买方案为：第一种方案：购进甲种书柜15，乙种书柜20；第二种方案：购进甲种书柜16，乙种书柜19；第三种方案：购进甲种书柜17，乙种书柜18
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，设出合适的未知数，确定相等关系列方程组，确定不等关系列不等式组是解本题的关键．
（1）设甲、乙两种书柜每个的价格分别为x元，y元，
再根据购买甲种书柜4个、乙种书柜5个，共需资金1740元；若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需资金1240元，列方程组，再解方程组即可得到答案；
（2）设计划购进甲种书柜m个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6800元，列不等式组，再解不等式组结合为正整数，从而可得答案．
【详解】（1）解：甲、乙两种书柜每个的价格分别是x元，y元，依题意，得
，
解得，
答：甲、乙两种书柜每个的价格分别是160元，220元．
（2）解：设购买甲种书柜m个，依题意，得
，
解得，
∵m为整数，
∴或16或17．
①当时，；
②当时，；
③当时，．
答：所有可行的购买方案为：第一种方案：购进甲种书柜15，乙种书柜20第二种方案：购进甲种书柜16，乙种书柜19，第三种方案：购进甲种书柜17，乙种书柜18．
15．阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号）
①； ②； ③．
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组等知识点，能准确解一元一次方程和不等式组是解此题的关键．
（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，求出结果即可．
【详解】（1）解不等式组得：
解方程①得：，
解方程②得：，
解方程③得：，
不等式组的“相伴方程”的是②．
故答案为：②．
（2）解不等式组得：
解方程得：，
是不等式组的“相伴方程”
解得：
的取值范围为．
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【高效学习】 一元一次不等式组 同步讲义
知识点01 一元一次不等式组的定义
一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。
【即学即练】
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组的解集
【即学即练】
1．不等式组在数轴上表示为：，这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 解一元一次不等式组
解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
【即学即练】
1．解不等式组：，并写出其整数解．
知识点04 一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
【即学即练】
1．某公司为响应垃圾分类政策，计划采购两种分类垃圾桶．已知购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需元；购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共需元．
(1)求两种垃圾桶的单价分别是多少元？
(2)若该公司需购买两种垃圾桶共个，总费用不超过元，且型垃圾桶数量不少于型垃圾桶数量的一半．共有几种采购方案？哪种采购方案费用最低？
题型01 一元一次不等式组的定义
【典例1】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】下列是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
题型02 求不等式组的解集
【典例2】解不等式： ，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
【变式1】解不等式组，并把不等式和的解集在数轴上表示出来．
【变式2】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【变式3】解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
题型03 求一元一次不等式组的整数解
【典例3】解不等式组，并把解集表示在数轴上，写出所有的整数解．
【变式1】解不等式组：，并写出它的正整数解．
【变式2】解不等式组：，并写出它的非负整数解．
【变式3】解不等式组并写出该不等式组的所有整数解．
题型04 由一元一次不等式组的解集求参数
【典例4】若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若关于x的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．>4 D．<4
题型05 不等式组和方程组结合的问题
【典例5】关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ．
【变式2】若方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【变式3】已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ．
题型06 不等式组的经济问题
【典例6】初一年级倡导书目为《我们仨》和《围城》．已知购买3本《我们仨》4本《围城》共需160元．购进2本《我们仨》和1本《围城》共需65元．
(1)购买一本《我们仨》和一本《围城》各需多少钱？
(2)冰莹图书馆为方便学生借阅，计划购进两种书籍共100本，且总费用不超过2345元，预计购进《我们仨》的数量不超过《围城》数量的，有哪几种购买方案？
【变式1】【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2 设计销售方案 求所有的销售方案；
任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？
【变式3】青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？
题型07 不等式组的分配问题
【典例7】养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
【变式1】八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本．
题型08 不等式组的方案选择问题
【典例8】为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
(1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？
【变式1】高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯．”为提高学生的阅读水平，某中学购买了《时间简史》和《寂静的春天》两种图书．若购买15本《时间简史》和10本《寂静的春天》，则需花费460元；若购买30本《时间简史》和40本《寂静的春天》，则需花费1240元．
(1)《时间简史》和《寂静的春天》两种图书的单价分别是多少元？
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本，这次购买的总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案？
【变式2】项目式学习：
【项目主题】
选择最省钱的租车方案．
【项目背景】
某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动．
【数据收集】
①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元．
②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位．
③下表是该公司租车记录单上的部分信息：
租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元
2 3 3100
1 2 1900
【问题解决】
利用以上数据解决下列问题：
(1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？
(2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案．
【变式3】为了响应市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托某治污公司购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表．经调查：购买台型设备和台型设备共用万元，购买台型设备和台型设备共用万元．
设备型号 型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
(1)求的值．
(2)经审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过万元，若每月要求处理污水量不低于吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案所需的购买资金．
题型09 一元一次不等式组的其他应用
【典例9】某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入3900热量和60蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于100，且总热量不超过7000．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案．
【变式1】数学活动
数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？
(3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【变式2】【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在．
素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积．
【问题解决】
(1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失）
(2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数）
(3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？
一、单选题
1．不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
2．已知不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是 ．
6.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于167”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
8．不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
9．不等式组的解集为 ．
10．如图，表示三个不同的物体，用天平比较结果．若，（单位：），则的取值范围是 ．
11．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人．
三、解答题
12．（1）解不等式； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
13．昆明作为历史文化名城，为了弘扬云南少数民族文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如下表：
傣锦（套） 乌铜走银工艺品（件） 总费用（元）
展馆1 3 4 1440
展馆2 5 2 1000
(1)求傣锦每套和乌铜走银工艺品每件各是多少元；
(2)景区准备再采购傣锦和乌铜走银工艺品共20件，总费用不超过3360元，且采购乌铜走银工艺品的数量不少于傣锦的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来．
14．某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜4个、乙种书柜5个，共需资金1740元；若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需资金1240元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共35个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金6800元，请设计所有可行的购买方案供学校选择．
15．阅读与思考
定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”．
阅读上面的内容完成下列问题：
(1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号）
①； ②； ③．
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围．
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