资源简介

教学设计与反思
课题名称 《6.4.3余弦定理 正弦定理》
学科年级 高一数学 教材版本 人教A版2019
一、教材内容分析
《6.4.3余弦定理 正弦定理》是普通高中数学教材2019版必修第二册6.4《平面向量的应用》的第三节，本节课主要讲解余弦定理的推导和余弦定理的简单应用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，同时也为初中证明三角形全等的边角边（SAS）、边边边（SSS）找到依据,它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的边与角有机的联系起来，实现边角关系的互化；本节内容为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，为初中学习做了拓展延申，为解决基本图形问题提供了重要依据。为了更好地体现向量的价值，教科书把余弦定理和正弦定理放在本节中，用向量方法推导了两个定理。解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性，体现数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
学情分析
学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。本节课思维量较大，对思维的严谨性和推理能力要求较高。
三、教学目标
（一）掌握余弦定理的两种表示形式，能独立推导出余弦定理，能够利用余弦定理求解已知两边及夹角和已知三边解三角形问题。 （二）在通过向量法推证余弦定理的过程当中，体会向量的工具作用，提高逻辑思维能力。 （三）在自主探究的过程中获得成功的体验，培养良好学习习惯和严谨的思维方式，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养。
四、教学重难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量的工具作用。 难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形时对公式变形的应用。
五、教法学法
教法选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用启发式教学”和探究性教学”的教学方法。通过预学单中问题激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析、综合，概括从而证明得出定理，应用定理解题，培养能力，在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点. 学法主要有观察、分析、发现、自主探究、小组协作等方法。经教师启发、诱导，学生通过观察与分析去发现并证明余弦定理，培养归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力，训练思维品质。
六、教学过程设计
教师活动学生活动 设计意图
展示学习目标： 知识目标：识记余弦定理及其推论. 能力目标：1.会用向量方法证明余弦定理. 2.能初步运用余弦定理解决解三角形的两类基本问题. 素养目标：在知识生成的过程中，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养. 学生阅读学习目标，思考本节课的学习任务。 使学生明确学习任务，明确学习方向。
（一）创设情景引入主题 教师引导学生回顾：在DABC 中，当 C=90o 时，有 c2 = a2 + b2 ，并抛出问题：若 a, b 的长度大小保持不变，变换 C 的大小时， c2 与 a2 + b2 有什么大小关系呢？教师鼓励学生积极思考，大胆发言。学生很容易得出： C 90o 时， c2 a2 + b2 ，那么 c2 与 a2 + b2 究竟有什么大小关系呢？从而引出课题。 学生思考问题，不能给出准确答案。 提高学生学习的兴趣，增强学生学习的欲望，引入本节课主题
（二）浅层学习 根据同学们预习单完成情况，请同学们完成下列两道习题。 1.在ABC中，已知a=3,b=6，C=600，求c 2.在中，已知a=6,b=4,c=，求C 教师在全班交流的基础上进行适当点评. 学生先独立思考并写出答案，让学生展示答案。 这一环节以学生自己练习的形式展开，对预习知识直接应用，考查公式记忆情况。
（三）深层学习 探究一：探索余弦定理 1.请同学展示自己的预习单，讲解余弦定理的证明过程，老师及时纠正讲解中的错误，给学生正确的标准，最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。 2.你还能用其他方法证明余弦定理吗 （如果有请上台展示，如果没有请同学课下思考写出答案，小组长组织交流.） 提示学生证明方法有向量法、几何法、坐标法等等。 问题1.怎样用文字叙述余弦定理？请同学回答。 问题 1.1 你能填写下面横线上的内容吗？ _____________, 追问：如何用已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？ =_______________,=______________ 注意：正弦定理结构的最大特点是等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美。 问题1.2.余弦定理中有几个量？ 问题1.3.若想求一个量，需要知道几个量？ 问题1.4.如果已知三边长如何怎样求A？ 由余弦定理得到推论：cosA=______________________ cosB=______________________ cosC=______________________ 问题1.5.勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？ 若三角形ABC中C=90°，则cos 90°=0，这时c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2；勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。 向量的数量积可以很简单的证明余弦定理,这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。 请学生自愿展示定理证明。请同学回答问题1的五个问题。 余弦定理的推导是本节课的一个学习目标，学生推导余弦定理后，对余弦定理的剖析有利于加深对定理的认识。
探究二：运用余弦定理 问题2.根据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？ 问题2.1.根据余弦定理能够解决解三角形的哪些类型？ 问题2.2.根据余弦定理推论能够解决解三角形的哪些类型？ 展示三道例题，加深对定理的学习。 例1.在ABC中，已知，则C是（ ） Ａ.30 B.60 C.45或135 D. 120 例2.在的顶点坐标分别为A(1,1),B(4,1),C(4,5),有几种方法求cosC的值. 变式：（1）将B坐标换成（4，2），同学还会吗？ （2）你可以进行变式吗？ 例3.如图所示，， 老师提示思路，引导探究。 学生思考回答。 体现学生思辨性思维，激发学生探究意识。 先由学生思考、解题，后再进行小组交流，展示答案。 基于堂课所学，设计对点训练加以巩固，旨在进一步巩固余弦定理，明确余弦定理的适用范围，有利于加深对本节课内容以及学习方法的认识与体会，锻炼了学生的答题规范性。 加深对本节课内容以及学习方法的认识与体会，锻炼了学生的答题规范性。 遵循学生的认知规律，多角度、多层次地设置习题，提高了学生对定理的理解程度。
（五）互助学习 指导小组活动，各小组小组长主持讨论三个例题解法，老师倾听指导学生研讨，发现学生思维中的问题。 各小组小组长主持讨论三个例题解法，学生讨论。 发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识
（六）展示学习 帮助学学生完成展示，纠正学生展示中出现的错误。 学生展示答案，倾听者发现问题提问，加深对题的理解。 发挥学生的主体作用，使思维发生碰撞。 （七）归纳小结交流感悟 通过以上的研究过程，同学们主要学到了哪些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善） 1、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。 定理可以解决已知三角形的两边及夹角求动三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。 2、用向量证明了余弦定理，体现了数学向量知识的应用，培养了归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力。学生在独立思考合作交流，梳理本课的节课在知识和数学思想方法。 通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，形成知识网络，也能培养学生的归纳和概括能力。
（八）达成学习 1.在中，，则的最大角是 （ ） A. B. C. D. 2.在中，，，则这个三角形是 （ ） A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 3.在中，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 4.在中，边的长是方程的两根，，则 。学生作答，完成习题，检测学习效果。
（九）课后作业 布置作业，课本后习题1、2。 学生课下完成作业，运用知识解答本节习题。 学以致用，让学生得到新的发展。
七、教学反思
教师的反思： 本节课我设计了学生通过预学单，通过课前预习对余弦定理有初步了解，为上好本节课顺利学习打下了良好的学习基础。 学数学的最终目的是应用数学，但学生应用数学的意识不强，创造能力弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的知识应用到实际问题中去，看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够，针对这些情况，教学中要重视从实际问题出发，引入数学主题，最后把数学知识应用于实际问题。

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