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23.2中心对称
【题型1】中心对称的概念和性质 5
【题型2】中心对称图形的概念和性质 8
【题型3】关于原点对称的点的坐标 11
【知识点1】中心对称 （1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 1.（2023秋 建昌县期中）关于中心对称的描述不正确的是（　　） A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称B．关于中心对称的两个图形是全等的C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心D．如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分作出判断． 【解答】解：A、一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故本选项错误；
B、关于中心对称的两个图形是全等的，故本选项正确；
C、关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故本选项正确；
D、根据中心对称的性质可得此说法正确，故本选项正确．
故选：A． 2.（2023 惠山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D为AC上一点，以BD为边，在如图所示位置作正方形BDEF，点O为正方形BDEF的对称中心，且OA=，则DE的长为（　　） A．B．5C．5D．8
【答案】A 【分析】连接OB，OD，由题意得△OBD是等腰直角三角形，因此OB：DB=1：，又△ABC是等腰直角三角形，得到AB：BC=1：，即可证明△BOA∽△BDC，代入有关数据，求出CD的长，得到AD的长，由勾股定理即可求出BD的长，得到DE的长． 【解答】解：连接OB，OD，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OB：DB=1：，
∵∠BAC=90°，AB=AC=10，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB：BC=1：，
∴OB：BD=AB：BC，
∵∠OBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD=45°，
∴∠OBA=∠CBD，
∴△BOA∽△BDC，
∴OA：DC=AB：BC，
∵OA=2，AB：BC=1：，
∴CD=4，
∴AD=AC-CD=6，
∴DB==2，
∴ED=BD=2．
故选：A． 【知识点2】中心对称图形 （1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 1.（2025 盘龙区校级模拟）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A． 2.（2025 盐湖区校级二模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选：D． 【知识点3】关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m,n的值，进而得出m-n的值，即可判断所在象限． 【解答】解：∵a2+1＞0，
∴点P（-2，a2+1）在第二象限，
∴点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限．
故选：D． 2.（2025 广安区校级三模）已知点P1（a,-3）和点P2（4，b）关于原点对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．1B．-1C．-52025D．52025
【答案】B 【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a,b的值，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，a=-4，b=-（-3）=3，
∴（a+b）2025=（-4+3）2025=-1，
故选：B．
【题型1】中心对称的概念和性质
【典型例题】(2023·四川南充顺庆期中)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称,AC=2,AB'=5,则菱形ABCD的边长是(　　)
A.3　　　　 B.4　　　　 C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形,且△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称,AC=2,
∴OA=OC=O'C=1,OB⊥OC,BC=B'C,
∴O'B'⊥O'C,O'A=AC+O'C=2+1=3,
∵AB'=5,∴O'B'==4,∴B'C=,
∴BC=B'C=,即菱形ABCD的边长是.故选D.
【举一反三1】第19届亚运会在杭州举行,吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合,其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱,下列四个选项中,和“宸宸”(如图)的图片成中心对称的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由中心对称的概念,知D符合题意.故选D.
【举一反三2】如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积是 　 　．
【答案】24
【解析】解：由题知，
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D是矩形，
∴S△ABC＝S△ADC，S△A′DC′＝S△A′B′C′，
∴S阴影＝S四边形ACA′C′．
又∵矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，
∴AD＝A′D，CD＝C′D，
又∵AA′⊥CC′，
∴四边形ACA′C′为菱形，
∴．
故答案为：24．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．
（1）求证：四边形ACBD是菱形；
（2）如果∠B＝60°，BC＝2，求菱形ACBD的面积．
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD，
∴AC＝BD，AD＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝BD＝AD＝BC，
∴四边形ACBD是菱形；
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝60°，BC＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴，AB＝BC＝2，
∴，
∴．
故菱形ACBD的面积为．
【题型2】中心对称图形的概念和性质
【典型例题】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
【举一反三1】下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【举一反三2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
【举一反三3】下面的图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　　.
　　　
【答案】③④
【解析】①中图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②中图形不是轴对称图形,是中心对称图形;③中图形是轴对称图形,不是中心对称图形;④中图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
【举一反三4】在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2 cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为　 　．
【答案】2 cm
【解析】如图所示：在直角△OBC中，OC＝AC＝BC＝1 cm，
则OB＝＝（cm），
则BB′＝2OB＝2（cm）．
故答案为：2 cm．
【举一反三5】如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD.请你画一条直线把这张纸分成面积相等的两部分.并说明理由.
【答案】解：如图所示：NO即为所求，
连接BF，AE，交于点O，连接EC，BD交于点N，
此时过点O的直线平分矩形FABE面积，过点N的直线平分菱形EBCD，
故ON平分这张纸片面积．
【举一反三6】(2023·广西玉林玉州期中)如图,在△AOB中,∠AOB=90°.
(1)尺规作图:作△AOB关于点O成中心对称的图形△COD(点A、B的对称点分别是点C、D);
(2)连接AD,BC,判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(3)若AO=3,BO=4,请直接写出点A到BC边的距离.
【答案】解：(1)如图所示,在AO的延长线上截取OC=OA,在BO的延长线上截取OD=OB,连接CD,△COD即为所求.
(2)如图,四边形ABCD是菱形,理由如下:
根据中心对称的性质知,AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
(3)∵AO=3,BO=4,
∴AC=6,BD=8,
在Rt△AOB中,由勾股定理得AB==5,
即BC=5,
设A到BC边的距离为h,
∵菱形ABCD的面积=BC·h=AC·BD,
∴h=,
即A到BC边的距离为.
【题型3】关于原点对称的点的坐标
【典型例题】点A（x，5）与点B（﹣2，y）关于原点对称，则x﹣y的值为（　　）
A.﹣7 B.﹣10 C.7 D.3
【答案】C
【解析】解：∵点A（x，5）与点B（﹣2，y）关于原点对称，
∴x＝2，y＝﹣5，
∴x﹣y＝2﹣（﹣5）＝7，
故选：C．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点（﹣2023，2024）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A.（﹣2023，2024） B.（2023，﹣2024） C.（2023，2024） D.（﹣2023，﹣2024）
【答案】B
【解析】解：在平面直角坐标系中，点（﹣2023，2024）关于原点对称的点的坐标是（2023，﹣2024），
故选：B．
【举一反三2】已知点A（a，2023）与点A′（﹣2024，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A.1 B.5 C.6 D.4
【答案】A
【解析】∵点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，
∴a＝2024，b＝﹣2023，
则a+b的值为：2024﹣2023＝1．
故选：A．
【举一反三3】已知点A(a,4)与点B(-3,b)关于原点对称,则(a+b)2 025的值是　　　　.
【答案】-1
【解析】∵点A(a,4)与点B(-3,b)关于原点对称,∴a=3,b=-4,
∴(a+b)2 025=(-1)2 025=-1.
【举一反三4】当m为何值时：
（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；
（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？
【答案】解：（1）∵点A（2，3m），
∴关于原点的对称点坐标为（﹣2，﹣3m），
∵在第三象限，
∴﹣3m＜0，
∴m＞0；
（2）由题意得：①0.5m+2＝（3m﹣1），解得：m＝；
②0.5m+2＝﹣（3m﹣1），
解得：m＝﹣，
综上所述：m的值为或﹣．23.2中心对称
【题型1】中心对称的概念和性质 3
【题型2】中心对称图形的概念和性质 4
【题型3】关于原点对称的点的坐标 5
【知识点1】中心对称 （1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 1.（2023秋 建昌县期中）关于中心对称的描述不正确的是（　　） A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称B．关于中心对称的两个图形是全等的C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心D．如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
2.（2023 惠山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D为AC上一点，以BD为边，在如图所示位置作正方形BDEF，点O为正方形BDEF的对称中心，且OA=，则DE的长为（　　） A．B．5C．5D．8
【知识点2】中心对称图形 （1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 1.（2025 盘龙区校级模拟）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D．
2.（2025 盐湖区校级二模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D．
【知识点3】关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 1.（2025春 蒸湘区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（-2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.（2025 广安区校级三模）已知点P1（a,-3）和点P2（4，b）关于原点对称，则（a+b）2025的值为（　　） A．1B．-1C．-52025D．52025
【题型1】中心对称的概念和性质
【典型例题】(2023·四川南充顺庆期中)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,若△BOC与△B'O'C关于点C成中心对称,AC=2,AB'=5,则菱形ABCD的边长是(　　)
A.3　　　　 B.4　　　　 C. D.
【举一反三1】第19届亚运会在杭州举行,吉祥物为智能小伙伴“江南忆”组合,其中吉祥物“宸宸”深受网民喜爱,下列四个选项中,和“宸宸”(如图)的图片成中心对称的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于点D成中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积是 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得△ABD．
（1）求证：四边形ACBD是菱形；
（2）如果∠B＝60°，BC＝2，求菱形ACBD的面积．
【题型2】中心对称图形的概念和性质
【典型例题】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】下面的图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是　　　.
　　　
【举一反三4】在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2 cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为　 　．
【举一反三5】如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD.请你画一条直线把这张纸分成面积相等的两部分.并说明理由.
【举一反三6】(2023·广西玉林玉州期中)如图,在△AOB中,∠AOB=90°.
(1)尺规作图:作△AOB关于点O成中心对称的图形△COD(点A、B的对称点分别是点C、D);
(2)连接AD,BC,判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(3)若AO=3,BO=4,请直接写出点A到BC边的距离.
【题型3】关于原点对称的点的坐标
【典型例题】点A（x，5）与点B（﹣2，y）关于原点对称，则x﹣y的值为（　　）
A.﹣7 B.﹣10 C.7 D.3
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点（﹣2023，2024）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A.（﹣2023，2024） B.（2023，﹣2024） C.（2023，2024） D.（﹣2023，﹣2024）
【举一反三2】已知点A（a，2023）与点A′（﹣2024，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A.1 B.5 C.6 D.4
【举一反三3】已知点A(a,4)与点B(-3,b)关于原点对称,则(a+b)2 025的值是　　　　.
【举一反三4】当m为何值时：
（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；
（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？

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