资源简介

两角和与差的余弦公式及其应用
【教材依据】
本节课是《普通高中教科书·数学（必修第二册）》（北师大版）第四章第二节第一课（4.2.1）《两角和与差的余弦公式及其应用》。
设计思路
指导思想：
学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳抽象概括等思维过程，通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动脑，掌握学习的主动权，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
教教材地位和作用分析：
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是诱导公式的延伸，是后继内容二倍角公式、半角公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导过程以及简单应用。
3、学生学情分析：
学生已经学习了第一章《三角函数》，理解并掌握了三角函数定义、诱导公式、图像与性质，以及第二章平面向量和第四章第一节同角三角函数的基本关系。能够解决简单的化简、求值、计算问题，并对相应问题的处理有了对应的思维方式。他们的数学表达能力和逻辑推理能力也得到了提升，同时也奠定了一些数学思想和数学理念。
教学目标
1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
3、经历公式推导过程，感受和体会实际问题中体会思想方法，通过对比观察、公式多方面应用培养辩证思维和解决问题的能力。
教学重点与难点
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活应用
教学准备
本节课是在学习了第一章与第二章的基础之上进行的，因此，要推导两角和与差的余弦公式，我选择了“向量数量积、平面内两点间的距离公式推导的方法”来作为本节课的主要助推器，并且这两种方法对学生而言，既易于动手，也易于接受，能充分调动学生积极性，达到了学生自主动手、动脑的效果，积极参与到课堂中，以学生为主体的新课标理念。
五、教学过程
教学程序 设计意图
复习回顾 平面内两点间的距离公式：；利用单位圆定义的正弦、余弦函数定义；特殊角的三角函数值：；诱导公式； 通过复习使学生熟悉基础知识，特别是角的正、余弦函数值对应的坐标
课题引入 提出问题：如何求？（准确值）讨论：“是否成立？”（学生可以通过计算器、特殊角三角函数值和余弦函数值域解决问题）。得出。抽象归纳：得出这个结论。引出课题：到底应该等于什么呢？这正是我们本节课要研究的内容。课题：两角和与差的余弦公式 通过创设问题请将，自然顺场地提出问题，引出课题，引发学生思考，使学生明确目标，迅速进入角色。
公式推导 提问：前面我们已经学习过任意角的三角函数，那么该如何研究的三角函数值呢？推导：在平面直角坐标系内作以原点为圆心，半径为1的单位圆。并作出任意角，它们的终边与单位圆的交点分别是,单位圆与轴的交点为.：你能用的三角函数值表示的坐标吗？：什么关系？什么关系？解析：对应坐标分别为：，，。由三角形全等得 ，进而可得 , 根据平面内两点间的距离公式，即可得， 整理可得， 用代替可得， 由此得到两角和与差的余弦公式： 我们把这两个公式叫做两角和与差的余弦公式。（对任意角都成立）。：我们能归纳上述两角和与差的余弦公式在结构上的特征吗？ （1）左负右正，左正右负； （2） 通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式。利用变量替换的方法得出两角差的余弦公式 。归纳公式特征，让学生感受数学公式的对称美，帮助学生记忆。
例 题 精 析 教师：那么我们如何求呢？（解决课前提的问题）学生：可以拆成，利用两角和的余弦公式展开可得。例1 不用计算器，求和的值.教师：我们那两位同学上来给咱们板演呢？解 （学生甲板演） . （学生乙板演） .教师：咱们这两个同学做的非常棒，我们为他们鼓掌，啪啪啪！！！ 我们下边的同学你们的 拆法和他的一样吗？同学丙：还可以拆为，然后利用两角差的余弦公式展开，结果和他的一样。教师：好，！！！例2 已知，求的值.教师：我们欲求的值，需要那些量？学生丁：通过观察这两个公式，我们可以看出要求左边的值需要知道的正弦和余弦值，所以首先要求出.教师：他说的太好了，说明他对公式的内容已经理解的比较透彻了。我们继续看，要求该怎么做呢？学生戊：通过上节课我们学的，即可求出的值。教师：那么开根号的时候，它们的正负号怎么取舍呢？学生戊：看两角的范围，为钝角，则为负值；在第三象限，则也是负值。教师：真棒！！！ 我们再来两位同学板演吧？（同学们非常积极，同学A与同学B板演）（教师走下讲台，看下面同学解题的书写情况，并实时提醒同学们解题过程中应注意的问题，和个别同学的问题单独予以指出和帮助改正）。解 由，得 （同学A与同学B板演） ； （教师帮助修订最又由 ，得 后标准解题过程） .所以 ； .教师：提醒下面同学参照黑板例题格式完成解题过程。例3 利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式： （2）（学生自己做，并分组讨论）教师：对学生的证明过程进行点评，使学生认识到这两个诱导公式是两角和与差余弦公式的特殊情形. 学生到此刻，能够利用本课新发现的两角和与差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验.通过提问第三个同学肯定丙同学的做法，让学生感觉三角思维的灵活性，使学生在思考问题是开拓思维。 通过逐步设问，使学生形成解决这类问题的基本思路。让学生板演，所有同学同时书写，最后教师订正，让同学对比，发现自己的问题并及时改过，达到新旧知识的巩固和理解。同时对解题的过程注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力。使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力。同时为下节课推导两角和与差的正弦公式做铺垫。
课堂练习 （学生活动）1、求下列各式的值： （2）2、求下列各式的值： （2）已知，求的值.教师：点评，不仅要会公式的正用而且要注意公式的逆用。（特别指出：第一题的第2题注意先将拆为，然后再拆角算；第二题的第1题等于）。 在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力。（第二题的第1题为后面学习二倍角公式有启发和引导作用。）
思考交流 已知都是锐角，，求的值。已知，求的值。（提示：找角的关系。变角：第一题：；第二题同理） （课后完成）提示学生让学生学会“变角”的技法，引导他们学会正用公式。
课堂小结 通过本节课的学习你们有那些收获呢？（学生总结后，屏幕展示）两角和与差的余弦公式的推导；（体会知识之间的网络关系）；两角和与差的余弦公式的正用和逆用。（教师强调：注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，要大胆猜想，细心证明！） 让学生在课堂小结中进行自我评价，回顾当堂所学，交流学习体会.
作业布置 ： “思考交流”的两道题写到课堂笔记本上，上自习时老师规范解题过程。思考并进行求证：如何通过两角和与差的余弦公式得到两角和与差的正弦公式？ 通过作业了解学生对本节课的理解和掌握程度，针对存在的问题给与及时纠正。思考题为下节课做基垫。
板书设计 本节重点依然书写在黑板上，让学生清楚本节所学重难点，利于学生对知识的理解和掌握。
两角和与差的余弦公式
公式
例1 练习 小结
例2 作业

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